Question

Reescreva completando o quadrado:

x² + x + 1

Answer 1

Olá

Nos temos que achar uma equação reduzida que, ao se expandir voltará a equação inicial.

a equação genérica: (x±b)²  quando a equação é um trinômio quadrado perfeito

a equação genérica: (x±b)² ±c ; quando a equação é um trinômio quadrado não perfeito

x²+x+1

1º- O que elevado ao quadrado resulta X², nesse caso será o próprio X.

2º- O que elevado ao quadrado resulta X. será  $\frac{1}{2}$, note que quando expandirmos o quadrado, será 2 vezes o primeiro pelo segundo
ficará assim

 $(x+ \frac{1}{2} )^2=(x+ \frac{1}{2} )\cdot (x+ \frac{1}{2} ) \\ \\ =x^2+ \frac{1}{2}x+ \frac{1}{2}x \\ \\ =x^2+x$


3º - Veja que nossa equação não é um quadrado perfeito, pois se fosse, teria acabado no passo anterior. se calcularmos o quadrado do segundo, ou seja $\frac{1}{2}$, resultará em $\frac{1}{4}$, para ser um trinômio quadrado perfeito, teria de ter resultado no nosso coeficiente C (1).

Agora, qual numero que somado com o quadrado do segundo ($\frac{1}{4}$), resulta em 1.

Bom, podemos fazer uma equação do primeiro grau para encontrar

$\frac{1}{4} +x=1 \\ \\ x=1- \frac{1}{4} \\ \\ x= \frac{3}{4}$


então, ficou assim:

$\boxed{\left.\left(x+\dfrac{1}{2}\,\right)^2+ \frac{3}{4} }$



Vamos comprovar expandido o quadrado

$\left.\left(x+\dfrac{1}{2}\,\right)^2+ \frac{3}{4} }$

$\left.\left(x+\dfrac{1}{2}\,\right)\cdot\left.\left(x+\dfrac{1}{2}\,\right)+ \frac{3}{4} }$

$\displaystyle x^2+ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}+ \frac{3}{4} \\ \\ \\ x^2+ \frac{x+x}{2} + \frac{1+3}{4} \\ \\ \\ x^2+ \frac{\diagup\!\!\!\!2x}{\diagup\!\!\!\!2}+ \frac{4}{4} \\ \\ \\ x^2+x+1$

Voltou a nossa equação original, então fizemos corretamente.


Espero que tenha entendido a explicação, essa matéria não tem muita teoria para explicar, é mais na prática. ;)

Answer 2

Olá Luan.


Para fazer isso precisamos deixar a equação no seguinte formato.

y² + 2.b.y + b² = 0

Multiplicando toda a equação por k, temos

kx² + kx + k = 0

kx² = a²x²
k = a²

k = y²

kx = 2axb
k = 2ab
k² = 4a²b²
k² = 4kb²
k = 4b²
y² = 4b²
y = 2b

y = 2 e b = 1

Portanto o valor de k será:

k = y² 
k = 2²
k = 4

Multiplicando toda a equação por 4.

x² + x + 1 = 0 * (4)
4x² + 4x + 4 = 0 + (1²)
(2x)² + 2.2.1x + 1² = -4 + 1²
(2x + 1)² = - 3
√(2x + 1)² = √-3
2x + 1 = ± i√3

2x' = -1 + i√3
x' = (-1 + i√3)/2

2x'' = -1 - i√3
x'' = (-1 - i√3)/2

[x - (-1 + i√3)]*[x - (-1 - i√3)] = x² + x + 1


Dúvidas? comente.