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exemplo 0.222.....
x = 0.222...
10x = 2.222...
10x - x = 2.222... - 0.222...
9x = 2
x = 2/9
Para entendermos o macete a gente primeiro iguala o período a X.
Ex.: X = 0,222...
Depois, movemos a vírgula para onde termina o período, nesse caso, ele começa a repetir a partir do 2.
X = 2,222...
Para mover a vírgula é necessário saber que multiplicamos o número por uma potência de 10, nesse caso, 10^1.
Então fica:
10X = 2,222...
(Se movessemos 2 casas, seria 10^2, ou seja, 100, 3 casas, 10^3, e assim por diante).
Agora separamos a parte inteira do decimal, assim:
10X = 2 + 0,222...
Lá no começo, igualamos o X a 0,222..., então fica:
10X = 2 + X
O X vai para o outro lado trocando de sinal.
10X - X = 2
E é nesse ponto que explica porque todo o denominador é 9, o primeiro X sempre será uma potência de 10, e sempre será (10^ a alguma potência) - 1.
Terminando a conta, fica:
9X = 2
9 que estava multiplicando troca de lado dividindo.
X = 2/9