Question

(UNIFOR CE) Se tan(x – y) + 2x = 5 – 2y e tan(y – x) + y = 7 – x, então o valor de x + y é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Answer 1

A tangente é uma função ímpar, pelo que tan(–α) = –tan α. Tem-se:
tan(y – x) = tan[–(x – y)] = –tan(x – y)

Substituindo:
tan(x – y) + 2x = 5 – 2y
–tan(x – y) + y = 7 – x

Somando as equações:
2x + y = 5 – 2y + 7 – x
3x = –3y + 12
3x + 3y = 12
3 ⋅ (x + y) = 12
x + y = 4

Answer 2

$tan(x-y)+2x=5-2y$
$tan(y-x)+y=7-x$
$x+y=?$

Temos de descobrir o valor de um $tanx$ em uma das equações para que possamos substituir na outra.
$tan(x-y)+2x=5-2y$
$tanx-tany+2x=5-2y$
$\boxed{tanx=5-2y+tany-2x}$

Na outra, substituiremos o $tanx$.
$tan(y-x)+y=7-x$
$tany-tanx+y=7-x$
$tany-(5-2y+tany-2x)+y=7-x$

Aplicando a regra de sinais:
$tany-5+2y-tany+2x+y=7-x$

Agrupando os semelhantes...
$tany-tany+2y+y+2x-5=7-x$

Deixando as variáveis no primeiro termo e os números inteiros no segundo...
$tany-tany+2y+y+2x+x=7+5$
$3y+3x=12$

Coloquemos o 3 em evidência:
$3(y+x)=12$

Como o 3 tá multiplicando no primeiro termo, é possível levar ele dividindo para o segundo:
$y+x=\frac{12}{3}$
$\boxed{\boxed{x+y=4}}$