Question

Qual o resultado dessa equação?
|x² - 3x| = x-2

Answer 1

Oi Vicky.

Segue a equação modular, ela pode ser entendida como:

$|x^{ 2 }-3x|=x-2\quad ou\quad |x^{ 2 }-3x|=-x+2$

Observe que há x fora do módulo, então teremos que fazer a verificação no final.

Vamos resolver as duas equações primeiro e achar as raízes.

$x^{ 2 }-3x=x-2\\ x^{ 2 }-3x-x+2=0\\ x^{ 2 }-4x+2=0\\ \\ \Delta =b^{ 2 }-4ac\\ \Delta =(-4)^{ 2 }-4*1*2\\ \Delta =16-8\\ \Delta =8\\ \\ \sqrt { 8 } \rightarrow \sqrt { 4 } *\sqrt { 2 } \Leftrightarrow 2\sqrt { 2 } \\ \\ \\ \frac { -b\pm \sqrt { 8 } }{ 2a } \\ \\ \frac { 4+2\sqrt { 2 } }{ 2 } \Leftrightarrow 2+\sqrt { 2 } \\ \\ \frac { 4-2\sqrt { 2 } }{ 2 } \Leftrightarrow 2-\sqrt { 2 }$

Achamos as duas raízes dessa primeira equação.
Agora vamos achar as raízes da outra equação.

$|x^{ 2 }-3x|=-x+2\\ \\ x^{ 2 }-3x=-x+2\\ x^{ 2 }-3x+x-2=0\\ x^{ 2 }-2x-2=0\\ \\ \Delta =b^{ 2 }-4ac\\ \Delta =(-2)^{ 2 }-4*1*(-2)\\ \Delta =4-8\\ \Delta =-4$

O delta é negativo, então a raiz não é real, portanto não iremos continuar, essa equação não tem raízes.

Agora precisamos fazer a verificação, basta substituir as raízes que encontramos no valor de x e calcular:

Vamos calcular a primeira raiz que é 2+√2

$|(2+\sqrt { 2 } )^{ 2 }-3(2+\sqrt { 2 } )|=2+\sqrt { 2 } -2\\ |(2+\sqrt { 2 } )(2+\sqrt { 2 } )-6-3\sqrt { 2 } |=\sqrt { 2 } \\ |4+2\sqrt { 2 } +2\sqrt { 2 } +\sqrt { 4 } -6-3\sqrt { 2 } |=\sqrt { 2 } \\ |4+4\sqrt { 2 } +2-6-3\sqrt { 2 } |=\sqrt { 2 } \\ |\sqrt { 2 } |=\sqrt { 2 }$

Essa raiz deu certo, então é uma solução, agora vamos achar a outra raiz.

$|(2-\sqrt { 2 } )^{ 2 }-3(2-\sqrt { 2 } )|=2-\sqrt { 2 } -2\\ |(2-\sqrt { 2 } )(2-\sqrt { 2 } )-6+3\sqrt { 2 } |=\sqrt { 2 } \\ |4-2\sqrt { 2 } -2\sqrt { 2 } +\sqrt { 4 } -6+3\sqrt { 2 } |=\sqrt { 2 } \\ |4-4\sqrt { 2 } +2-6+3\sqrt { 2 } |=\sqrt { 2 } \\ |6-6-4\sqrt { 2 } +3\sqrt { 2 } |=\sqrt { 2 } \\ |-4\sqrt { 2 } +3\sqrt { 2 } |=\sqrt { 2 } \\ |-\sqrt { 2 } |=\sqrt { 2 }$

Módulo negativo tem valor positivo, então essa solução também é verdadeira:

$S=\{ 2+\sqrt { 2 } ,2-\sqrt { 2 } \}$