Question

O conjunto verdade da equação $(x-a)^{2}$ = $b^{2}$, sendo a,b reais positivos,é:

A) {a+b} B) {a-b} C){a+b,a-b} D){-a+b,a+b} E){a+b,-a-b}

Answer 1

Lembre-se disso:

$k\in\mathbb{R}~~\Longrightarrow~~\sqrt{k^{2}}=|k|=\begin{cases}k~~~~\mathsf{se~k\ge0}\\\\-k~~\mathsf{se~k~\textless~0}\end{cases}$

Portanto:

$(x+a)^{2}=b^{2}$

Aplicando raiz quadrada nos dois lados da equação:

$\sqrt{(x-a)^{2}}=\sqrt{b^{2}}~~~\Longrightarrow~~\boxed{|x-a|=|b|}$

Temos que $|\alpha|=|\beta|$ se $\alpha=\beta$ ou $\alpha=-\beta$

Então:

$|x-a|=|b|~~~\Longrightarrow~~~x-a=b~~~\mathsf{ou}~~~x-a=-b$

No primeiro caso, temos $x-a=b~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{x=a+b}}$

Já no segundo, $x-a=-b~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{x=a-b}}$

Portanto, o conjunto verdade da equação é dado por

$\boxed{\boxed{V=\{a+b,\,a-b\}}}$
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Podemos verificar que esses valores de $x$ realmente satisfazem a equação:

$\bullet\,\,x=a+b:$

$(x-a)^{2}=(a+b-a)^{2}=b^{2}~~~(\checkmark)$

$\bullet\,\,x=a-b:$

$(x-a)^{2}=(a-b-a)^{2}=(-b)^{2}=([-1]\cdot b)^{2}=(-1)^{2}\cdot b^{2}=b^{2}~~(\checkmark)$