Question

Calcule o valor limite lim┬(n→∞)⁡〖(〖4x〗^5+x+3)/(〖3x〗^3+〖5x〗^2+x+2)〗 e em seguid, assinale a alternativa CORRETA. a)+∞ b) 4 c) 4/( 3) d) -∞ e) 0

Answer 1

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^{5}+x+3}{3x^{3}+5x^{2}+x+2}$

Vamos colocar a maior potência de x do denominador em evidência ($x^{3}$):

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^{5}+x+3}{3x^{3}+5x^{2}+x+2}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^{3}\cdot(4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}})}{x^{3}\cdot(3+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}})}\\\\\\\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^{5}+x+3}{3x^{3}+5x^{2}+x+2}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}}{3+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}}$

Mas, temos que

$\boxed{\boxed{\frac{1}{x^{2}},\,\frac{3}{x^{3}},\,\frac{5}{x},\,\frac{1}{x^{2}},\,\frac{2}{x^{3}}\longrightarrow0~~\mathsf{quando~n\to\infty}}}$

Portanto, tudo no numerador, exceto $4x^{2}$, vai a zero quando $x\to\infty$. Já o denominador converge para 3, pois

$3+\frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}\longrightarrow3+0+0+0=3~~\mathsf{quando~n\to\infty}$

Portanto, o numerador tenderá a infinito, pois $4x^{2}\to\infty$ quando $x\to\infty$ (e o resto das parcelas do numerador tende a zero), e o denominador tente para uma constante, fazendo com que o quociente tenda a infinito quando $x\to\infty$

Conclui-se então

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^{5}+x+3}{3x^{3}+5x^{2}+x+2}=\infty}}$
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Como minha resposta ficou um pouco intuitiva, responderei de outra forma, usando um dos casos da Regra de L'Hospital:

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}~~\mathsf{se~f(x)\to\pm\infty~e~g(x)\to\pm\infty~quando~x\to a}}}$

(Tratamos também o caso de limites no infinito)

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^{5}+x+3}{3x^{3}+5x^{2}+x+2}$

Quando $x\to\infty$, o numerador e o denominador também crescem indefinidamente (tendem a infinito), então, podemos usar o caso apresentado da Regra de L'Hospital:

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^{5}+x+3}{3x^{3}+5x^{2}+x+2}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\frac{d}{x}(4x^{5}+x+3)}{\frac{d}{dx}(3x^{3}+5x^{2}+x+2)}\\\\\\\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^{5}+x+3}{3x^{3}+5x^{2}+x+2}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{20x^{4}+1}{9x^{2}+10x+1}$

Mas, $20x^{4}+1,\,9x^{2}+10x+1~\longrightarrow~\infty~~\mathsf{quando~x\to\infty}$, então podemos aplicar a regra novamente:

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^{5}+x+3}{3x^{3}+5x^{2}+x+2}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\frac{d}{dx}(20x^{4}+1)}{\frac{d}{dx}(9x^{2}+10x+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^{5}+x+3}{3x^{3}+5x^{2}+x+2}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{80x^{3}}{18x+10}$

Usando a regra novamente, pois o numerador e o denominador continuam tendendo a infinito, temos

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^{5}+x+3}{3x^{3}+5x^{2}+x+2}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\frac{d}{dx}(80x^{3})}{\frac{d}{dx}(18x+10)}\\\\\\\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^{5}+x+3}{3x^{3}+5x^{2}+x+2}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{240x^{2}}{18}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^{5}+x+3}{3x^{3}+5x^{2}+x+2}=\infty}}$

Pois $x^{2}\longrightarrow\infty~\mathsf{quando~x\to\infty}$