Question

(PUCCAMP-SP) Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio. Se ele caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60º. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para, para que possa enxergar o topo do prédio sob um angulo de 30º?

a) 160
b) 180
c) 270
d) 300
e) 310

Answer 1

Boa tarde,

Pela descrição do enunciado, podemos tirar figuras geométricas interessantes que irão nos ajudar a resolver o problema.

Podemos imaginar os pontos A, B e C formando um triângulo retângulo. Seu angulo reto fica no ponto A e o ponto B possui angulo de 60º, como descrito.

Pela regras dos triângulos, a soma de seus lados deve ter 180º. Por diferença, podemos concluir que o ângulo no ponto C é de 30º.

Como temos todos os angulos, sabemos a relação entre a distância AB e a hipotenusa BC:

$sen30\º= \frac{AB}{BC}$

Como o seno de 30º é igual a 1/2 e a distância AB tem 90 metros:

$BC= \frac{AB}{sen30\º}= \frac{90}{ \frac{1}{2}}=180metros$

E também podemos descobrir qual é a altura do prédio AC.

$sen60\º= \frac{AC}{BC} \to AC= \frac{180*\sqrt3}{2} =90*\sqrt3$

Para descobrir qual é a nova distância (chamaremos AB') para enxergar o topo do prédio a um angulo de 30º, faremos o caminho inverso.

A única medida inalterada neste novo triângulo é a altura do prédio AC (90√3 metros). Sabemos que seu novo ângulo oposto é de 30º, portanto:

$sen30\º= \frac{AC}{B'C} \to B'C= \frac{90\sqrt3}{ \frac{1}{2} }=180\sqrt3$

Como o novo angulo do ponto C tem 60º:

$sen60\º= \frac{AB'}{B'C} \to AB'= \frac{\sqrt3}{2}*180\sqrt3=270metros$

Portanto uma pessoa deve se distânciar 270 metros do ponto A para que possa enxergar o topo do prédio sob um angulo de 30º.

Espero ter ajudado. Bons estudos!