Question

Determine a equação vetorial da reta r que passa por P = (2,1,3) e é per-
pendicular à reta s: X = (2, 1, -3) + a(1, 2, -1), a ∈ R.

Answer 1

Olá

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P = (2,1,3) 

s: X = (2, 1, -3) + a(1, 2, -1)

Temos 2 pontos e 1 vetor, então temos que criar um vetor a partir dos dois pontos dados, após fazermos isso, temos que pegar este vetor que criamos e calcular o produto vetorial entre ele e vetor da reta dada.

$P = (2,1,3) \\ Q=(2,1,-3) \\ \\ \vec{PQ}=Q-P=(2,1,-3)-(2,1,3) \\ \\ \boxed{\vec{PQ}=(0,0,-6)}$

Calculando o produto vetorial

$\vec{PQ}~x~\vec{u}= \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&0&-6\\1&2&-1\end{array}\right] \\ \\ \\ \text{Resolve por sarrus} \\ \\ \\ \left[\begin{array}{cccc} i ~ ~~~~ ~~ & j~ ~~~~ ~~ & k~ ~~~~ ~~ & i ~ ~~~~ ~~ j \\ 0~ ~~~~ ~~ & 0~ ~~~~ ~~ & -6~ ~~~~ ~~ & 0~ ~~~~ ~~ 0 \\ 1 ~ ~~~~ ~~ & 2~ ~~~~ ~~ & -1 ~ ~~~~ ~~ & 1 ~ ~~~~ ~~ 2\\ \end{array}\right] \\ \\ \\ (0-6j+0)~-~(0-12i+0) \\ \\ 12i-6j$

$\vec{w}=(12,-6,0)$

Agora, basta criar a reta. Pega o ponto P e o vetor w que encontramos

r: X = (2,1,3) + λ(12, -6, 0)           λ  ∈ R