Question

NÚMEROS COMPLEXOS

Determine o complexo de z tal que z+2z´´-z.z´´ = 1+i
z´´=conjugado de z.

Answer 1

Temos o seguinte:

$z+2z''-z*z'' = 1+i$

Tendo:

$z = a+bi \\ \\ z'' = a - bi$

Temos:

$z+2z''-z*z'' = 1+i \\ \\ (a+bi) + 2*(a-bi) - (a+bi)*(a-bi) = 1 + i \\ \\ (a+bi) + (2a - 2bi) - (a^2 - (bi)^2) = 1+i \\ \\ (a+bi) + (2a - 2bi) - (a^2+ b^2) = 1 + i \\ \\ 3a - bi - a^2 - b^2 = 1 + i \\ \\ -a^2 - b^2 + 3a - bi = 1 + i \\ \\ a^2 + b^2 - 3a + bi = -1 - i$

Igualando temos:

$bi = -i \\ \\ b = -1$

$a^2 + b^2 - 3a = -1 \\ \\ a^2 + (-1)^2 - 3a = -1 \\ \\ a^2 + 1 - 3a = -1 \\ \\ a^2 - 3a + 2 = 0 \\ \\ \left \{ {{a_{1} * a_{2} = 2} \atop {a_{1} + a_{2} = 3}} \right. \\ \\ a_{1} = 1 \\ \\ a_{2} = 2$

Logo:

$z = 1 - i ~~~ou ~~~z = 2 - i$