Question

Para explicitar x na equação ax² + bx + c = 0, a≠0, usa-se o recurso da complementação de quadrados. Usando-se o recurso da complementação de cubos um aluno determinou uma raiz real r da equação x³ - 6x² + 12x - 29 =0. Pode-se afirmar que:

a)0<r<1
b)1<r<2
c)2<r<3
d)4<r<5

Por favor me ajudem!!!!

Answer 1

(x + a)³ = x³ + 3x²a + 3xa² + a³
Note que o primeiro valor é x, já que temos x³ no enunciado. Temos também 6x², que é a parte 3x²a, então:

3x²a = -6x²
a = -2

Então temos: (x - 2)³ = x³ - 6x² + 12x - 8 , mas no enunciado temos -29. Para chegarmos nesse valor a partir de -8,  devemos subtrair 21. Observe:

P(x) = x³ - 6x² + 12x - 29 = x³ - 6x² + 12x - 8 - 21 = (x - 2)³ - 21

Para termos P(x) = 0, devemos ter x = r, a raiz:

P(r) = 0 

(r - 2)³ - 21 = 0

(r - 2)³ = 21

r = 2 + ∛21

Note que 8 < 21 < 27, então 2 < ∛21 < 3, e a partir disso:

2 + 2 < 2 + ∛21 < 3 + 2

4 < r < 5, letra D