Question

Derivada da função 4-27t+t^3 que fornece a velocidade e aceleração? Faz o desenvolvimento para eu aprender!

Answer 1

espero ter ajudado.......

Answer 2

$f(t)=t^{3}-27t-4$
$f'(t)=(t^{3}-27t-4)'$ Vamos começar a derivar agora, primeira regra:

A derivada da soma é a soma das derivadas (ou da subtração)

$f'(t)=(t^{3})'+(-27t)'+(-4)'$ Ainda não derivei, só usei a regra a cima. Fazendo bem passo a passo pra você.

Vamos usar a regra do tombo aqui para facilitar. Você também poderia usar o limite, mas é desnecessário. Só é bom usar pra tu adquirir confiança na veracidade da regra do tombo...Vamos separar os termos e derivar um a um   

→$(t^{3})' = (3)t^{3-1} = 3t^{2}$
→$(-27t)' = -(1).27t^{1-1} = -27t^{0}=-27$

Agora a última derivação $(4)' = 0$ fica muito claro quando você utiliza a notação de Libniz $\frac{d(4)}{dt}= 0$ o termo 4 independe de t

Daí temos que:

$f'(t)=(t^{3})'+(-27t)'+(-4)'$
$f'(t)=3t^{2}-27$ Essa é a função do espaço

$f''(t)=(3t^{2}-27)'$
$f''(t)=(3t^{2})'+(-27)'$
$f''(t)=(2).3t^{2-1}$
$f''(t)=6t$ Essa é a função da velocidade

$f'''(t)=(6t)'$
$f'''(t)=(1).6t^{1-1}$
$f'''(t)=6t^{0}$
$f'''(t)=6$ E essa é a aceleração

.............................................Limite da derivada

$\boxed{f'(x) = \lim_{n \to 0} = \frac{ f(x+n)-f(x) }{n}}$

$f'(t) = \lim_{n \to 0} \frac{f(t+n)-f(t)}{n}$

Não podemos calcular o limite pois n tendendo a zero impossibilita a divisão. Vamos mecher um pouco com a função.

$\frac{f(t+n)-f(t)}{n}$ →  $\frac{[(t+n)^{3}-27(t+n)-4]-(t^{3}-27t-4)}{n}$

$\frac{(t^{3} +3t^{2}n+3tn^{2}+n^{3})+(-27t-27n)-4-t^{3}+27t+4}{n}$

Cortando os termos iguais e simplificando um pouco:
$\frac{(3t^{2}n+3tn^{2}+n^{3})-27n}{n}$

$\frac{3t^{2}n+3tn^{2}+n^{3}-27n}{n}$ Colocando n em evidência

$\frac{n(3t^{2}+3tn+n^{2}-27)}{n}$

$\boxed{3t^{2}+3tn+n^{2}-27}$ Até aqui só fizemos foi para REESCREVER a função f'(t). Mas agora já eliminamos o problema da divisão, hora de calcular o limite: 

$f'(t) = \lim_{n \to 0} (3t^{2}+3tn+n^{2}-27)}$

$\lim_{n \to 0} [3t^{2}+3t(0)+(0)^{2}-27]}$

$\boxed{\boxed{f'(t)=3t^{2}-27}}$

tá feito, se quiser treinar a $f''(t)$ e $f'''(t)$ é igual o procedimento, vai ser menos trabalhoso do que essa ainda sim