Question

Sou iniciante de Calculo 1, eu tentei procurar outros exemplos de fazer esse limite, e consegui um resultado de $1 / 3 \sqrt[3]{4}$

O Limite

Answer 1

Olá Ivs.



Nesse limite ao substituir x por 3 iremos obter uma indeterminação, e nesses casos você deve buscar fatorar a equação para poder fazer simplificações.

Como acima temos a diferença de duas raiz cúbicas, vamos usar o produto notável da diferença de dois cubos para deixar o numerador igual ao denominador e simplificarmos.




$\mathsf{a^3\pm b^3=(a\pm b)\cdot(a^2\mp ab+b^2)}\\\\\\\mathsf{ \lim_{x\to3} \dfrac{\sqrt[3]{\mathsf{x}}-\sqrt[3]{\mathsf{3}}}{x-3}\cdot \dfrac{\sqrt[3]{\mathsf{x^2}}+\sqrt[3]{\mathsf{3x}}+\sqrt[3]{\mathsf{3^2}}}{\sqrt[3]{\mathsf{x^2}}+\sqrt[3]{\mathsf{3x}}+\sqrt[3]{\mathsf{3^2}}}}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{x-3}{(x-3)\cdot (\sqrt[3]{\mathsf{x^2}}+\sqrt[3]{\mathsf{3x}}+\sqrt[3]{\mathsf{3^2}})}}\\\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{1}{\sqrt[3]{\mathsf{x^2}}+\sqrt[3]{\mathsf{3x}}+\sqrt[3]{\mathsf{3^2}}}}\\\\=$

$\mathsf{ \lim_{x\to3} \mathsf{\dfrac{1}{\sqrt[3]{\mathsf{3^2}}+\sqrt[3]{\mathsf{3\cdot3}}+\sqrt[3]{\mathsf{3^2}}}}}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{1}{3\sqrt[3]{\mathsf{9}}}\cdot\dfrac{\sqrt[3]{\mathsf{3}}}{\sqrt[3]{\mathsf{3}}}}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{\sqrt[3]{\mathsf{3}}}{3\cdot3}}\\\\=\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{\sqrt[3]{\mathsf{3}}}{9}}}$

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