Question

fmp os lados de um triângulo medem 13 cm, 14 cm e 15 cm, e sua área mede 84 cm2. Considere um segundo triangulo, semelhante ao primeiro, cuja a área mede 336 cm2. A medida do perimetro do segundo triangulo, em cm, é...
R: 84

Answer 1

Tendo-se um triângulo com lados "a","b" e "c", uma das formas de se calcular a Área(S) de um triângulo é:
$S= \sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)}$, sendo p o semi perímetro do triângulo, ou seja: $p= \frac{a+b+c}{2}$
As figuras dos 2 triângulos semelhantes estão abaixo:
Logo, por semelhança temos:
$\frac{a}{13} = \frac{b}{15} = \frac{c}{14} = \frac{a+b+c}{42}$, porém, podemos dizer que:
$\frac{a+b+c}{42} = \frac{a+b+c}{2} . \frac{1}{21}$, mas sabemos que $p= \frac{a+b+c}{2}$, logo a semelhança pode ser escrita como:
$\frac{a}{13}= \frac{b}{15} = \frac{c}{14} = \frac{p}{21}$, logo:
$a= \frac{13.p}{21} ,b= \frac{15.p}{21}= \frac{5.p}{7} ,c= \frac{14.p}{21} =\frac{2.p}{3}$
Logo, substituindo na fórmula, e sabendo que a área desse triângulo é 336, temos:
$336= \sqrt{p.(p- \frac{13.p}{21}).(p- \frac{5.p}{7}).(p- \frac{2.p}{3} }$
Fatorando-se o 336 e resolvendo as subtrações temos:
$2^{4}.3.7= \sqrt{p.( \frac{8.p}{21}).( \frac{2.p}{7}).( \frac{p}{3}) }$
Fatorando-se os números 8 e 21 para facilitar a conta e resolvendo as multiplicações temos:
$2^{4}.3.7= \sqrt{ \frac{p^{4}.2^{4}}{3^{2}.{7^{2}} }$, Tirando-se a raiz do numerador e do denominador, temos:
$2^{4}.3.7= \frac{p^{2}.2^{2}}{3.7}$, passando o 3.7 multiplicando e o $2^{2}$ dividindo temos:
$p^{2}=2^{2}.3^{2}.7^{2}$, tirando-se a raiz dos dois lados temos:
$p=2.3.7=42$
O semi perímetro é 42, porém a questão pede o perímetro. Para isso, basta multiplicar o semi perímetro por 2, sendo assim:
$p.2=42.2=84$, logo o perímetro do segundo triângulo semelhante ao primeiro é 84