Question

alguem pode me ajuda nessa expressão?

(IFMG) Seja a expressão x= √3+√5 + √3-√5 , o valor de $\frac{x²}{5} e$

Answer 1

Pela fórmula do Radical duplo:
$\sqrt{A + ou- \sqrt{B} }= \sqrt{ \frac{A+C}{2} } +ou- \sqrt{ \frac{A-C}{2} }$
$C= \sqrt{A^{2}-B}$
$C= \sqrt{9-5}= \sqrt{4}=2$
$\sqrt{A+ \sqrt{B} } = \sqrt{ \frac{3+2}{2} } + \sqrt[]{ \frac{3-2}{2} }$
$\sqrt{A+ \sqrt{B} } = \frac{ \sqrt{5}+1 }{ \sqrt{2} }$
$\sqrt{A- \sqrt{B} } = \frac{ \sqrt{5}-1 }{ \sqrt{2} }$
$x= \frac{ \sqrt{5}+1 }{ \sqrt{2} } + \frac{ \sqrt{5}-1 }{ \sqrt[]{2} }$
$x= \frac{2. \sqrt{5} }{ \sqrt{2} }$, Racionalizando temos:
$x= \frac{2. \sqrt{2} . \sqrt{5} }{2}$
$x= \sqrt{10}$, logo:
$\frac{x^{2}}{5} = \frac{(\sqrt{10}) ^{2} }{5} = \frac{10}{5} =2$

Answer 2

Eu fiz diferente:
Sendo $x = \sqrt{3 + \sqrt{5} } + \sqrt{3 - \sqrt{5} }$, logo $x^{2} = (\sqrt{3 + \sqrt{5} } + \sqrt{3 - \sqrt{5} })^2$

Substituindo na expressão dada $\frac{x^2}{5}$

$\frac{(\sqrt{3 + \sqrt{5} } + \sqrt{3 - \sqrt{5} })^2}{5} \\ \\ \frac{(\sqrt{3 + \sqrt{5} })^2 + 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) } + ( \sqrt{3 - \sqrt{5} })^2 }{5} \\ \\ \frac{3 + \sqrt{5} + 2 \sqrt{9 - 5} + 3 - \sqrt{5} }{5} \\ \\ \frac{6 + 4}{5} \\ \\ \frac{10}{5} = 2$

:)