Question

UMA QUESTÃO DE MATEMÁTICA, VALENDO 10 PONTOS, COM ITENS!


Sejam a,b,c e d números reais positivos, tais que que logb a=5, logb c=2 e logb d=3. O valor da expressão logc a²b*5/d³ é igual a:

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Leonardo, que a resolução é simples.
Tem-se: dados que:

logᵦ (a) = 5
logᵦ (c) = 2
logᵦ (d) = 3

Calcule o valor da seguinte expressão, que a chamaremos de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = log  (a²*b*c/d³)
........... ͨ

A propósito, note que, no lugar do "5", colocamos "c", pois estamos entendendo que você, por engano, digitou "5" em vez de "c". Por isso, na presunção de que houve esse engano da sua parte, então estamos considerando que a expressão seria a que acima digitamos, ok?
Então, para começarmos a desenvolver, vamos repetir a expressão acima, que é esta:


y = log  (a²*b*c/d³) ---- vamos passar para a base "b", com o que ficaremos:
........... ͨ

y = logᵦ (a²*b*c/d³) / logᵦ (c) ---- como já vimos que logᵦ (c) = 2, teremos:

y = logᵦ (a²*b*c/d³) / 2 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
2y = logᵦ (a²*b*c/d³) ----- vamos transformar o produto em soma, ficando: 
2y = logᵦ (a²) + logᵦ (b) + logᵦ (c/d³) ---- vamos transformar a divisão em subtração, com o que ficaremos:

2y = logᵦ (a²) + logᵦ (b) + logᵦ (c) - logᵦ (d³) ---- passando os expoentes multiplicando, ficaremos assim:

2y = 2logᵦ (a) + logᵦ (b) + logᵦ (c) - 3logᵦ (d) ----- substituindo-se os diversos logaritmos por seus valores dados no enunciado da questão e considerando que logᵦ (b) = 1 (pois todo logaritmo cuja logaritmando é igual à base é sempre igual a "1"), teremos:

2y = 2*5 + 1 + 2 - 3*3
2y = 10 + 1 + 2 - 9 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
2y = 4 ------ isolando "y", teremos:
y = 4/2
y = 2 <--- Esta seria a resposta (opção "B"), se o nosso entendimento estiver correto, quando substituímos o "5'' por "c" na expressão considerada.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

O valor da expressão é igual a 3.

Vamos reescrever o logaritmo $log_c(\frac{a^2b^5}{d^3})$.

Para isso, é importante lembrarmos da seguinte propriedade:

• logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y) → subtração de logaritmos de mesma base.

Dito isso, temos que:

$log_c(\frac{a^2b^5}{d^3})=log_c(a^2b^5)-log_c(d^3)$.

Além disso, existe uma outra propriedade que nos diz:

• logₐ(x.y) = logₐ(x) + logₐ(y) → soma de logaritmos de mesma base.

Portanto:

$log_c(\frac{a^2b^5}{d^3})=log_c(a^2)+log_c(b^5) - log_c(d^3)$.

Observe que todos os logaritmandos possuem potências. A propriedade a seguir também é válida:

• logₐ(bˣ) = x.logₐ(b).

Assim, obtemos:

$log_c(\frac{a^2b^5}{d^3})=2.log_c(a)+5.log_c(b)-3.log_c(d)$.

O enunciado nos dá os logaritmos na base b. Precisamos fazer a mudança de base dos logaritmos da expressão acima para a base b. Para isso:

• $log_a(b)=\frac{log_c(b)}{log_c(a)}$.

Então:

$log_c(a)=\frac{log_b(a)}{log_b(c)}=\frac{5}{2}$

$log_c(b)=\frac{log_b(b)}{log_b(c)}=\frac{1}{2}$

$log_c(d)=\frac{log_b(d)}{log_b(c)}=\frac{3}{2}$.

Portanto, podemos concluir que o valor da expressão é:

$log_c(\frac{a^2b^5}{d^3}) = 2.\frac{5}{2} + 5.\frac{1}{2}-3.\frac{3}{2}$

$log_c(\frac{a^2b^5}{d^3})=3$.

Alternativa correta: letra c).

Para mais informações sobre logaritmo: https://brainly.com.br/tarefa/18243893