Question

mostre, por meio de exemplos, a razão pela qual, no conjunto dos números inteiros, para a subtração, não são válidas as propriedades comutativa e elemento neutro

Answer 1

Um número inteiro pode ser, além de natural, negativo. Porque os naturais são todos positivos. Então, considerando a subtração de um número negativo -a por um número positivo b, não é válida a propriedade comutativa porque

b-(-a)=b+a e -a-b=-(a+b), a propriedade comutativa diz que se trocarmos a posição dos números na operação que estamos fazendo, isso não altera o resultado. Mas notamos que para os números inteiros altera, porque: a+b≠ -(a+b)

Veríamos, da mesma forma, a invalidade da comutação na subtração de inteiros se ambos fossem negativos (-a-(-b))= (-a+b)≠(-b-(-a)) =(-b+a) e mesmo se ambos forem positivos, porque a-b≠b-a se a>b ou b>a; isso só é valido se a=b.

Agora, o elemento neutro não serve porque, trabalhando com os inteiros negativos: 0-(-a)=a e -a-0=-a e a≠-a, então também não é válida a propriedade do elemento neutro.