Question

considere uma função y= f(x) tal que f(0)= -4 e dy/dx = 3x^5+ 6x^2-5. marque a alternativa que representa a função y=f(x) e o valor de f(-1)

a:
b:
c:
d:
e:

Answer 1

É dado o seguinte PVI:

$\begin{cases}f(0)=-4\\\dfrac{dy}{dx}=3x^5+6x^2-5\end{cases}$

A equação diferencial acima é separável. Assim, podemos resolvê-la do seguinte modo:

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=3x^5+6x^2-5\\\\ \int\,dy=\int(3x^5+6x^2-5)\,dx\\\\ y=\int 3x^5\,dx+\int 6x^2\,dx-\int 5\,dx\\\\ y=3\int x^5\,dx+6\int x^2\,dx-5\int \,dx\\\\ y=3\cdot\dfrac{x^{5+1}}{5+1}+6\cdot\dfrac{x^{2+1}}{2+1}-5x+C\\\\ y=3\cdot\dfrac{x^6}{6}+6\cdot\dfrac{x^3}{3}-5x+C\\\\ y=\dfrac{x^6}{2}+2x^3-5x+C$

Agora, vamos usar o dado que f(0)=-4 para encontrarmos o valor da constante C:

$f(x)=\dfrac{x^6}{2}+2x^3-5x+C\\\\ f(0)=\dfrac{0^6}{2}+2\cdot0^3-5\cdot0+C\\\\ -4=\dfrac{0}{2}+2\cdot0-5\cdot0+C\\\\ -4=0+0-0+C\\\\ C=-4$

Logo, a função é:

$\boxed{f(x)=\dfrac{x^6}{2}+2x^3-5x-4}$

Isso já seria suficiente para marcarmos a alternativa correta. Porém, vamos encontrar tudo que o enunciado pede. Vamos calcular f(-1):

$f(x)=\dfrac{x^6}{2}+2x^3-5x-4\\\\ f(-1)=\dfrac{(-1)^6}{2}+2\cdot(-1)^3-5\cdot(-1)-4\\\\ f(-1)=\dfrac{1}{2}+2\cdot(-1)+5-4\\\\ f(-1)=\dfrac{1}{2}-2+5-4\\\\ f(-1)=\dfrac{1}{2}-1\\\\ \boxed{f(-1)=-\dfrac{1}{2}}$

Portanto, a resposta é Letra B.