Question

Considere uma função y=f(x) tal que f(0)= -4 e dy/dx =3x^5 + 6x^2-5 . Marque a alternativa que representa a função y=f(x) e o valor de f(-1).

Answer 1

Nos foi dado que

$\dfrac{dy}{dx}=3x^{5}+6x^{2}-5$

Ou, equivalentemente:

$f'(x)=3x^{5}+6x^{2}-5$

Isto é, $3x^{5}+6x^{2}-5$ é a derivada de $f$ com respeito a $x$

Portanto, sabemos que $f$ é dada por

$f(x)=\displaystyle\int f'(x)dx\\\\\\f(x)=\int(3x^{5}+6x^{2}-5)dx\\\\\\f(x)=3\cdot\dfrac{x^{6}}{6}+6\cdot\dfrac{x^{3}}{3}-5x+C\\\\\\\boxed{\boxed{f(x)=\dfrac{x^{6}}{2}+2x^{3}-5x+C}}$

Vamos achar o valor da constante $C$, sabendo que $f(0)=-4$:

$f(0)=-4\\\\\\\dfrac{0^{6}}{2}+2(0)^{3}-5(0)+C=-4\\\\\\0+0-0+C=-4\\\\\\\boxed{\boxed{C=-4}}$

Já temos a expressão de $f$:

$\boxed{\boxed{f(x)=\dfrac{x^{6}}{2}+2x^{3}-5x-4}}$

Vamos agora encontrar $f(-1)$:

$f(-1)=\dfrac{(-1)^{6}}{2}+2(-1)^{3}-5(-1)-4\\\\\\f(-1)=\dfrac{1}{2}+2(-1)+5-4\\\\\\f(-1)=\dfrac{1}{2}-2+1\\\\\\f(-1)=\dfrac{1}{2}-1\\\\\\f(-1)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{2}\\\\\\f(-1)=\dfrac{1-2}{2}\\\\\\\boxed{\boxed{f(-1)=-\dfrac{1}{2}}}$

Portanto, a primeira alternativa é a resposta.