Question

prove que raiz quadrada de 2 e irracional

Answer 1

✅ Após terminar a demonstração pela técnica "Redução ao Absurdo", concluímos que:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \sqrt{2}\:\:\:\acute{e}\:\:\:Irracional\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sendo:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}x = \sqrt{2}\:\:\:\Longrightarrow\:\:\:x\in\mathbb{I} \end{gathered}$

Supondo por "ABSURDO" que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$               $\Large\displaystyle\begin{gathered}x = \sqrt{2},\:\:\:com\:x\in\mathbb{Q} \end{gathered}$

Sendo "x" um número racional então, ele pode ser escrito como uma fração irredutível, na qual, tanto o numerador quanto o denominador são coprimos entre si, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$    $\Large\displaystyle\begin{gathered}x = \frac{p}{q},\:\:\:com\:p\in\mathbb{Z}\:e\:q\in\mathbb{Z^*},\:\:\:com\:MDC(p, q) = 1 \end{gathered}$  

Elevando ao quadrado os dois membros da equação "II" e igualando ao segundo membro da equação "I" ao quadrado, temos:

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x^{2} = \frac{p^{2}}{q^{2}} = (\sqrt{2})^{2} \end{gathered} }$  

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(III) \end{gathered}$                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}x^{2} = \frac{p^{2}}{q^{2}} = 2 \end{gathered} }$

Realizando a multiplicação cruzada entre os dois últimos membros da equação "III", chegamos à:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(IV) \end{gathered}$                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} p^{2} = 2q^{2}\end{gathered}$

Analisando a "IV" equação percebemos que:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}2\:\:\:\acute{e}\:\:\:divisor\:de\:p^{2} \end{gathered}$

Portanto,

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} p^{2}\:\:\:\acute{e}\:\:\:par\end{gathered}$

Então temos:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}impar\cdot impar = impar \end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} par\cdot par = par\end{gathered}$

Portanto:

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}p\:\:\:\acute{e}\:\:\:par \end{gathered}$

A partir disso, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(V) \end{gathered}$                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}p = 2k \end{gathered}$

Substituindo o valor de "p" na "IV" equação, temos:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}(2k)^{2} = 2q^{2} \end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4k^{2} = 2q^{2}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(VI) \end{gathered}$                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}2k^{2} = q^{2} \end{gathered}$

Invertendo a ordem dos membros da equação "VI", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(VII) \end{gathered}$                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}q^{2} = 2k^{2} \end{gathered}$      

Se o quadrado de "q" é o dobro do quadrado de "k", então:

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}q^{2}\:\:\:\acute{e}\:\:\:par \end{gathered}$        

Pois:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}q^{2} = q\cdot q = par \end{gathered}$

Portanto:

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}q\:\:\:\acute{e}\:\:\:par \end{gathered}$            

Desta forma concluímos o seguinte absurdo:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}p\:\:\:\acute{e}\:\:par\:\:\:e\:\:\:q\:\:\:\acute{e}\:\:\:par \end{gathered}$            

Se "p" e "q" são par, então a fração...

                                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{p}{q} \end{gathered}$

...não é irredutível. Desta forma, temos que:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}MDC(p, q) \ne1 \end{gathered}$

✅ Portanto, concluímos que:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}x = \sqrt{2}\:\:\:\Longrightarrow\:\:\:x\in\mathbb{I} \end{gathered}$

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