Question

Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies $z^{2}= \frac{1}{3} ( x^{2}+ y^{2}), z^{2}= 3( x^{2}+ y^{2}), z^{2}= 9-( x^{2}+ y^{2})$. Considere $z \geq 0$.

Answer 1

1) Intersección entre las superficies (proyectado sobre el plano XY) $z^2=\dfrac{1}{3}(x^2+y^2)$ e $x^2+y^2+z^2=9$

                                   $\dfrac{1}{3}(x^2+y^2)=9-(x^2+y^2)\\ \\ \dfrac{4}{3}(x^2+y^2)=9\\ \\\\ \boxed{x^2+y^2=\dfrac{27}{4}}$

con $z=\dfrac{3}{2}$

2) intersección entre las superficies (proyectado sobre el plano XY) $z^2=3(x^2+y^2)$ e $x^2+y^2+z^2=9$


                           $3(x^2+y^2)=9-(x^2+y^2)\\ \\ \boxed{x^2+y^2=\dfrac{9}{4}}$

con $z=\dfrac{3}{2}\sqrt{3}$

3) Cálculo del volumen: $V=V_1-V_2$
3.1) Cálculo del volumen $V_1$
          $\displaystyle V_1=\iiint\limits_{R_{11}} dV-\iiint\limits_{R_{12}} dV\\ \\ \\ \texttt{Donde: }\\ R_{11}=\left\{(x,y,z): 0\leq x^2+y^2\leq \dfrac{27}{4}\,;\,0\leq z^2\leq 9-x^2-y^2\right\}\\ \\ \\ R_{12}=\left\{(x,y,z): 0\leq x^2+y^2\leq \dfrac{27}{4}\,;\,0\leq z^2\leq \dfrac{1}{3}(x^2+y^2)\right\}\\ \\ \\ \texttt{En coordenadas cil\'indricas...}\\ \\ V_1=\iiint\limits_{R'_{11}}r\,d\theta\,dr\,dz-\iiint\limits_{R'_{12}}r\,d\theta\,dr\,dz$
 
         $\texttt{Donde: }\\ R'_{11}=\left\{(r,\theta,z):0\leq r\leq \dfrac{3}{2}\sqrt{3}\,;\, 0\ \textless \ \theta\leq 2\pi\,;\, 0\leq z \leq \sqrt{9-r^2} \right\} \\ \\ \\ R'_{12}=\left\{(r,\theta,z):0\leq r\leq \dfrac{3}{2}\sqrt{3}\,;\, 0\ \textless \ \theta\leq 2\pi\,;\, 0\leq z \leq \dfrac{r}{\sqrt{3}} \right\}$
 
          $\displaystyle V_1=\int\limits_{0}^{3\sqrt{3}/2}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\sqrt{9-r^2}}r\,dz\,d\theta\, dr-\int\limits_{0}^{3\sqrt{3}/2}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\frac{r}{\sqrt{3}}}r\,dz\,d\theta\, dr\\ \\ \\ V_1=\int\limits_{0}^{3\sqrt{3}/2}\int\limits_{0}^{2\pi}r\sqrt{9-r^2}\,d\theta\, dr-\int\limits_{0}^{3\sqrt{3}/2}\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{r^2}{\sqrt{3}}\,d\theta\, dr$
 
                         
         $\displaystyle V_1=2\pi\int\limits_{0}^{3\sqrt{3}/2}r\sqrt{9-r^2}\, dr-\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}}\int\limits_{0}^{3\sqrt{3}/2} r^2\, dr\\ \\ \\ V_1=9\pi$
        
3.1) Cálculo del volumen $V_2$
En este caso tendremos
                  
                  $\displaystyle V_2=\iiint\limits_{R''_{11}}r\,dr\,d\theta\,dz-\iiint\limits_{R''_{12}}r\,dr\,d\theta\,dz\\ \\ \\ \texttt{Donde: }\\ \\ R''_{11}=\left\{(r,\theta,z): 0\leq r\leq \dfrac{3}{2}\,;\, 0\ \textless \ \theta \leq 2\pi\,;\, 0\leq z\leq \sqrt{9-r^2}\right\}\\ \\ R''_{12}=\left\{(r,\theta,z): 0\leq r\leq \dfrac{3}{2}\,;\, 0\ \textless \ \theta \leq 2\pi\,;\, 0\leq z\leq \sqrt{3}\, r\right\}$
    
              $\displaystyle V_2=\int\limits_{0}^{3/2}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\sqrt{9-r^2}}r\, dz\,d\theta\, dr-\int\limits_{0}^{3/2}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\sqrt{3}r}r\, dz\,d\theta\, dr\\ \\ \\ V_2=(18-9\sqrt{3})\pi\\ \\ \\ \text{Finalmente: }V=V_1-V_2=\boxed{9(\sqrt{3}-1)\pi}$