Question

Binomio de newton
Desenvolva:

A) (x+1)^3
B) (a-b)^6
C) (x^2-x^2y)^6

Answer 1

Caso esteja pelo app, experimente abrir pelo navegador:  https://brainly.com.br/tarefa/8562384

——————————

O desenvolvimento do Binômio de Newton

$\mathsf{(v+w)^n}$

possui  n + 1  termos, e o termo da posição  p + 1  é dado por

$\mathsf{t_{p+1}=\dbinom{n}{p}\cdot v^{n-p}\cdot w^p}$


e a expansão é dada por

$\mathsf{(v+w)^n=\displaystyle\sum_{p=0}^n\binom{n}{p}\cdot v^{n-p}\cdot w^p}\\\\\\\mathsf{(v+w)^n=\displaystyle\sum_{p=0}^n t_{p+1}}$

—————

A)  (x + 1)³

v = x,  w = 1,  n = 3


A expansão possui  4  termos.


•   1º termo:

$\mathsf{t_1=\dbinom{3}{0}\cdot x^3 \cdot 1^0}\\\\\\ \mathsf{t_1=1\cdot x^n \cdot 1}\\\\ \mathsf{t_1=x^n}$


•   2º termo:

$\mathsf{t_2=\dbinom{3}{1}\cdot x^{3-1} \cdot 1^1}\\\\\\ \mathsf{t_2=3\cdot x^2 \cdot 1}\\\\ \mathsf{t_2=3x^2}$


•   3º termo:

$\mathsf{t_3=\dbinom{3}{2}\cdot x^{3-2} \cdot 1^2}\\\\\\ \mathsf{t_3=3\cdot x^1 \cdot 1}\\\\ \mathsf{t_3=3x}$


•   4º termo:

$\mathsf{t_4=\dbinom{3}{3}\cdot x^{3-3} \cdot 1^3}\\\\\\ \mathsf{t_4=1\cdot x^0 \cdot 1}\\\\ \mathsf{t_4=1}$


Portanto,

(x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1

—————

B)  (a – b)⁶

v = a,  w = – b,  n = 6


A expansão possui  7  termos.


•   1º termo:

$\mathsf{t_1=\dbinom{6}{0}\cdot a^6\cdot (-b)^0}\\\\\\ \mathsf{t_1=1\cdot a^6\cdot 1}\\\\ \mathsf{t_1=a^6}$


•   2º termo:

$\mathsf{t_2=\dbinom{6}{1}\cdot a^{6-1}\cdot (-b)^1}\\\\\\ \mathsf{t_2=6\cdot a^5\cdot (-b)}\\\\ \mathsf{t_2=-6a^5 b}$


•   3º termo:

$\mathsf{t_3=\dbinom{6}{2}\cdot a^{6-2}\cdot (-b)^2}\\\\\\ \mathsf{t_3=\dfrac{6\cdot 5}{2\cdot 1}\cdot a^4\cdot b^2}\\\\\\ \mathsf{t_3=15a^4 b^2}$


•   4º termo:

$\mathsf{t_4=\dbinom{6}{3}\cdot a^{6-3}\cdot (-b)^3}\\\\\\ \mathsf{t_4=\dfrac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot a^4\cdot (-b^3)}\\\\\\ \mathsf{t_4=-20a^3 b^3}$


•   5º termo:

$\mathsf{t_5=\dbinom{6}{4}\cdot a^{6-4}\cdot (-b)^4}\\\\\\ \mathsf{t_5=\dfrac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot a^4\cdot (-b^3)}\\\\\\ \mathsf{t_5=15a^2 b^4}$


•   6º termo:

$\mathsf{t_6=\dbinom{6}{5}\cdot a^{6-5}\cdot (-b)^5}\\\\\\ \mathsf{t_6=6\cdot a^1\cdot (-b^5)}\\\\ \mathsf{t_6=-6ab^5}$


•   7º termo:

$\mathsf{t_7=\dbinom{6}{6}\cdot a^{6-6}\cdot (-b)^6}\\\\\\ \mathsf{t_7=1\cdot a^0\cdot b^6}\\\\ \mathsf{t_7=b^6}$


Portanto,

(a – b)⁶ = a⁶ – 6a⁵b + 15a⁴b² – 20a³b³ + 15a²b⁴ – 6ab⁵ + b⁶

—————

C)  (x² – x²y)⁶

v = x²,  w = – x²y,  n = 6


A expansão possui  7  termos.


•   1º termo:

$\mathsf{t_1=\dbinom{6}{0}\cdot (x^2)^6\cdot (-x^2y)^0}\\\\\\ \mathsf{t_1=1\cdot x^{12}\cdot 1}\\\\ \mathsf{t_1=x^{12}}$


•   2º termo:

$\mathsf{t_2=\dbinom{6}{1}\cdot (x^2)^{6-1}\cdot (-x^2 y)^1}\\\\\\ \mathsf{t_2=6\cdot (x^2)^5\cdot (-x^2 y)}\\\\ \mathsf{t_2=-6\cdot x^{10}\cdot x^2 y}\\\\ \mathsf{t_2=-6x^{12} y}$


•   3º termo:

$\mathsf{t_3=\dbinom{6}{2}\cdot (x^2)^{6-2}\cdot (-x^2 y)^2}\\\\\\ \mathsf{t_3=15\cdot (x^2)^4\cdot (-x^2 y)^2}\\\\ \mathsf{t_3=15\cdot x^8\cdot x^4 y^2}\\\\ \mathsf{t_3=15x^{12} y^2}$


•   4º termo:

$\mathsf{t_4=\dbinom{6}{3}\cdot (x^2)^{6-3}\cdot (-x^2 y)^3}\\\\\\ \mathsf{t_4=20\cdot (x^2)^3\cdot (-x^6 y^3)}\\\\ \mathsf{t_4=-20\cdot x^6\cdot x^6 y^3}\\\\ \mathsf{t_4=-20x^{12} y^3}$


•   5º termo:

$\mathsf{t_5=\dbinom{6}{4}\cdot (x^2)^{6-4}\cdot (-x^2 y)^4}\\\\\\ \mathsf{t_5=15\cdot (x^2)^2\cdot (-x^2 y)^4}\\\\ \mathsf{t_5=15\cdot x^4\cdot x^8 y^4}\\\\ \mathsf{t_5=15x^{12} y^4}$


•   6º termo:

$\mathsf{t_6=\dbinom{6}{5}\cdot (x^2)^{6-5}\cdot (-x^2 y)^5}\\\\\\ \mathsf{t_6=6\cdot (x^2)^1\cdot (-x^2 y)^5}\\\\ \mathsf{t_6=6\cdot x^2\cdot (-x^{10} y^5)}\\\\ \mathsf{t_6=-6x^{12} y^5}$


•   7º termo:

$\mathsf{t_7=\dbinom{6}{6}\cdot (x^2)^{6-6}\cdot (-x^2 y)^6}\\\\\\ \mathsf{t_7=1\cdot (x^2)^0\cdot (-x^2 y)^6}\\\\ \mathsf{t_7=1\cdot 1\cdot x^{12}\cdot y^6}\\\\ \mathsf{t_7=x^{12} y^6}$


Portanto,

(x² – x²y)⁶ = x¹² – 6x¹²y + 15x¹²y² – 20x¹²y³ + 15x¹²y⁴ – 6x¹²y⁵ + x¹²y⁶


Bons estudos! :-)