Question

Mudanças de coordenadas em integrais triplas são transformações biunívocas que levam uma região A do espaço xyz em uma região B do espaço (nas novas coordenadas uvw). Usualmente são escritas na forma: x = f (u,v,w), y = g (u,v,w), z = h (u,v,w). As funções f, g e h são funções de classe C¹ ( ou seja, f, g e h são funções deriváveis com primeiras derivadas contínuas ). Então é válida a seguinte expressão: ʃʃʙʃ f (x,y,z) dV = ʃʃAʃ f (x (u,v,w), y (u,v,w), z (u,v,w)) │∂ (x,y,z) / ∂ (u,v,w) │du dv dw Considere a mudança de coordenadas dada por: X = 2u + v – 2w, y = -v/2 + 3w, z = w/5 Qual é o valor do determinante jacobiano desta transformação? a. 0 b. 2/3 c. 4/5 d. 3 e. -1/5

Answer 1

Resposta:

resposta é -1/5 correta

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Usando conceitos de álgebra linear e calculo 3 podemos calcular o determinante da transformação de coordenadas e encontramos o jacobiano

$e)=\frac{-1}{5}$

Explicação passo-a-passo:

Temos a seguinte transformação de coordenadas

$x=2u+v–2w$

$y =\frac{-v}{2}+3w$

$z=\frac{w}{5}$

Para encontrar o jacobiano dessa transformação primeiro calculamos a derivada de x, y e z em relação a u, v e w.

Em relação a u:

$\frac{dx}{du}=2$

$\frac{dy}{du}=0$

$\frac{dz}{du}=0$

Em relação a v:

$\frac{dx}{dv}=1$

$\frac{dy}{dv}=\frac{-1}{2}$

$\frac{dz}{dv}=0$

Em relação a w:

$\frac{dx}{dw}=-2$

$\frac{dy}{dw}=3$

$\frac{dz}{dw}=\frac{1}{5}$

Escrevemos a matriz das derivadas como

$\left[\begin{array}{ccc}2&1&-2\\0&-1/2&3\\0&0&1/5\end{array}\right]$

e calculamos o determinante pela regra de sarrus:

$J=2*\frac{-1}{2}*\frac{1}{5}+1*3*0+(-2)*0*0-(-2*\frac{-1}{2}*0+2*3*0+1*0*\frac{1}{5})=\frac{-1}{5}$