Question

simplifique f(x+h)-f (x)/h (h não é igual a 0) sendo f (x) igual a 1/x+2

Answer 1

Siga os passos:
$\displaystyle i)~~~~\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\frac{1}{x+h+2}-\frac{1}{x+2}}{h}\\\\ii)~~~\frac{\frac{x+2-x-h-2}{(x+2)(x+h+2)}}{h}=\frac{x+2-x-h-2}{h(x+2)(x+h+2)}\\\\iii)~~\frac{-h}{h(x+2)(x+h+2)}\\\\iv)~~~-\frac{h}{h(x^2+hx+4x+2h+4)}\\\\v)~~~\boxed{\boxed{-\frac{1}{x^2+hx+4x+2h+4}}}$

A expressão foi simplificada, se tomarmos o limite de h tendendo a zero, teremos a derivada da função:
$\displaystyle \lim_{h\to0}-\frac{1}{x^2+hx+4x+2h+4}=-\frac{1}{x^2+4x+4}$
que é a mesma coisa que:
$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x+2}\right)=\frac{(x+2)(1)'-(x+2)'(1)}{(x+2)^2}=\frac{(x+2)0-1}{(x+2)^2}=-\frac{1}{(x+2)^2}$

(Usei a derivada como exemplo para comprovar que o limite não daria uma indeterminação, prova de que a simplificação está correta, caso não curse/cursou cálculo ignore a ultima parte)

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