Question

Binomio de newton ( termo geral ) :
Ache o valor de a de modo que x^5 seja igual ao de x^15 no desenvolvimento de [ 2x^2 +( a/x3) ]^10

Answer 1

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Encontrar o valor de  a, de modo que os coeficientes do termo em $\mathsf{x^5}$ seja igual ao coeficiente de $\mathsf{x^{15},}$  no desenvolvimento de

$\mathsf{\left(2x^2+\dfrac{a}{x^3}\right)^{10}}$

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•   Encontrar a fórmula do termo geral do binômio.

No desenvolvimento de

$\mathsf{(v+w)^n}$

o termo da posição  p + 1  é dado por

$\mathsf{t_{p+1}=\dbinom{n}{p}\cdot v^{n-p}\cdot w^p}\\\\\\ \mathsf{t_{p+1}=\dfrac{n!}{p!\cdot (n-p)!}\cdot v^{n-p}\cdot w^p}$

com  0 ≤ p ≤ n.


Para o binômio dado,

$\mathsf{\left(2x^2+\dfrac{a}{x^3}\right)^{10}}\\\\\\ =\mathsf{\left(2x^2+ax^{-3}\right)^{10}}$

temos   $\mathsf{v=2x^2,~~w=ax^{-3},~~n=10.}$


A fórmula do termo geral para este binômio é

$\mathsf{t_{p+1}=\dbinom{10}{p}\cdot (2x^2)^{10-p}\cdot (ax^{-3})^p}\\\\\\ \mathsf{t_{p+1}=\dbinom{10}{p}\cdot 2^{10-p}\cdot (x^2)^{10-p}\cdot a^p\cdot (x^{-3})^p}\\\\\\ \mathsf{t_{p+1}=\dbinom{10}{p}\cdot 2^{10-p}\cdot x^{2(10-p)}\cdot a^p\cdot x^{-3p}}\\\\\\ \mathsf{t_{p+1}=\dbinom{10}{p}\cdot 2^{10-p}\cdot a^p\cdot x^{2(10-p)-3p}}$

$\mathsf{t_{p+1}=\dbinom{10}{p}\cdot 2^{10-p}\cdot a^p\cdot x^{2\,\cdot\, 10-2p-3p}}\\\\\\ \mathsf{t_{p+1}=\dbinom{10}{p}\cdot 2^{10-p}\cdot a^p\cdot x^{20-5p}}\qquad\quad\checkmark$


Perceba que o expoente de  x  na posição  p + 1  é sempre dado por  20 – 5p.

Sendo assim, vamos encontrar em que posições ocorrem os termos em  $\mathsf{x^5}$  e  $\mathsf{x^{15}.}$


•   Termo em $\mathsf{x^5}:$

$\mathsf{x^{20-5p}=x^5}\\\\ \mathsf{20-5p=5}\\\\ \mathsf{5p=20-5}\\\\ \mathsf{5p=15}\\\\ \mathsf{p=\dfrac{15}{5}}$

$\mathsf{p=3}$

O termo em  $\mathsf{x^5}$  ocorre na  4ª posição.


•   Termo em $\mathsf{x^{15}}:$

$\mathsf{x^{20-5p}=x^{15}}\\\\ \mathsf{20-5p=15}\\\\ \mathsf{5p=20-15}\\\\ \mathsf{5p=5}\\\\ \mathsf{p=\dfrac{5}{5}}$

$\mathsf{p=1}$

O termo em  $\mathsf{x^{15}}$  ocorre na  2ª posição.

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O coeficiente de qualquer potência de  x  no desenvolvimento é

$\mathsf{c_{p+1}=\dbinom{10}{p}\cdot 2^{10-p}\cdot a^p}$


De acordo com o enunciado, queremos que

$\mathsf{c_4=c_2}\\\\ \mathsf{c_{3+1}=c_{1+1}}\\\\ \mathsf{\dbinom{10}{3}\cdot 2^{10-3}\cdot a^3=\dbinom{10}{1}\cdot 2^{10-1}\cdot a^1}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot 2^7\cdot a^3=10\cdot 2^9\cdot a}$


Colocando fatores comuns em evidência,

$\mathsf{(10\cdot 2^7\cdot a)\cdot \dfrac{9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot a^2=(10\cdot 2^7\cdot a)\cdot 2^2}$

$\mathsf{(10\cdot 2^7\cdot a)\cdot 12\cdot a^2=(10\cdot 2^7\cdot a)\cdot 4}\\\\ \mathsf{(10\cdot 2^7\cdot a)\cdot 12\cdot a^2-(10\cdot 2^7\cdot a)\cdot 4=0}$


Fatorando por agrupamento,

$\mathsf{(10\cdot 2^7\cdot a)\cdot (12a^2-4)=0}\\\\ \mathsf{4\cdot 10\cdot 2^7 \cdot a\cdot (3a^2-1)=0}\\\\ \mathsf{a\cdot (3a^2-1)=0}$

$\begin{array}{rcl} \mathsf{a=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{3a^2-1=0}\\\\ \mathsf{a=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{3a^2=1}\\\\ \mathsf{a=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{a^2=\dfrac{\,1\,}{3}}\\\\ \mathsf{a=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{a=\pm\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}} \end{array}$


a = 0  não se aplica, pois nesse caso não teríamos um binômio de fato.


Logo, temos dois valores possíveis para  a:

$\mathsf{a=-\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}~~~ou~~~a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$    <———    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)