Question

Dados A =]-4,3],B=[-5,5] e E=]-infinito,1[ Determine

a)A∩B∩E

b)AUBUE

c)(AUB)∩E

Answer 1

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Dados três intervalos reais

A = ]– 4, 3],  B = [– 5, 5]  e  C = ]– ∞, – 1[,

obter os intervalos pedidos.


Primeiramente, para melhor compreensão, representaremos cada intervalo sobre a reta real.

$\begin{array}{cl} \mathsf{A=\left]-\,4,\,3\right]}&\qquad\mathsf{\textsf{||}\!\!\!\underset{-5}{\circ}\!\!\!\textsf{||}\!\!\!\overset{\;********************}{\underset{-4}{\circ}\!\!\textsf{|||||}\!\!\underset{1}{\bullet}\!\!\textsf{|||}\!\!\underset{3}{\bullet}}\!\!\textsf{|||}\!\!\underset{5}{\circ}\!\!\textsf{||}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}}\\\\ \mathsf{B=\left[-\,5,\,5\right]}&\qquad\mathsf{\textsf{||}\!\!\!\overset{\;**********************************}{\underset{-5}{\bullet}\!\!\textsf{||}\!\!\!\underset{-4}{\bullet}\!\!\!\textsf{|||||}\!\!\underset{1}{\bullet}\!\!\textsf{|||}\!\!\underset{3}{\bullet}\!\!\textsf{|||}\!\underset{5}{\bullet}}\!\!\textsf{||}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}}\\\\ \mathsf{E=\left]-\infty,\,1\right]}&\qquad\mathsf{\overset{~***********************}{\textsf{||}\!\!\!\underset{-5}{\bullet}\!\!\!\textsf{||}\!\!\!\underset{-4}{\bullet}\!\!\!\textsf{|||||}\underset{1}{\circ}}\!\textsf{|||}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\textsf{|||}\!\!\underset{5}{\circ}\!\!\textsf{||}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}}\end{array}$


a)  $\mathsf{A\cap B\cap E}$

Este intervalo é a interseção entre os três. Será formado por todos os pontos comuns entre todos os intervalos, isto é, todos os pontos que pertencem a  A,  B  e  E  simultaneamente.

Analisando a representação gráfica, obtemos

$\begin{array}{cl} \mathsf{A\cap B\cap E = \left]-\,4,\,1\right [}&\qquad\mathsf{\textsf{||}\!\!\!\underset{-5}{\circ}\!\!\!\textsf{||}\!\!\!\overset{\;************}{\underset{-4}{\circ}\!\!\textsf{|||||}\underset{1}{\circ}}\!\!\textsf{|||}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\textsf{|||}\!\!\underset{5}{\circ}\!\!\textsf{||}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}} \end{array}$


Este é o intervalo que contém todos os números que estão entre  – 4  e  1, excluindo ambos os extremos (intervalo aberto), isto é, – 4  e  1  não pertencem ao intervalo.

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b)  $\mathsf{A\cup B\cup E}$

Este intervalo é formado por todos os pontos que pertencem a pelo menos um dos intervalos  A,  B  ou  E.

$\begin{array}{cl} \mathsf{A\cup B\cup E = \left]-\infty,\,5\right ]}&\qquad\mathsf{\overset{~***************************************}{\textsf{||}\!\!\!\underset{-5}{\bullet}\!\!\!\textsf{||}\!\!\!\underset{-4}{\bullet}\!\!\!\textsf{|||||}\!\!\underset{1}{\bullet}\!\!\textsf{|||}\!\!\underset{3}{\bullet}\!\!\textsf{|||}\underset{5}{\bullet}}\!\textsf{||}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}} \end{array}$


Este é o intervalo formados por todos os números menores ou iguais que  5.

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c)  $\mathsf{(A\cup B)\cap E}$

Primeiro achamos a união entre os intervalos  A  e  B:

Como  A  está contido em  B,  a união de  A  e  B  será o próprio  B:

$\begin{array}{cl} \mathsf{A\cup B=\left[-\,5,\,5\right]}&\qquad\mathsf{\textsf{||}\!\!\!\overset{\;***********************************}{\underset{-5}{\bullet}\!\!\textsf{||}\!\!\!\underset{-4}{\bullet}\!\!\!\textsf{|||||}\!\!\underset{1}{\bullet}\!\!\textsf{|||}\!\!\underset{3}{\bullet}\!\!\textsf{|||}\!\underset{5}{\bullet}}\!\!\textsf{||}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}} \end{array}$


Fazendo a interseção com o intervalo  E,  obtemos

$\begin{array}{cl} \mathsf{(A\cup B)\cap E=\left[-\,5,\,1\right[}&\qquad\mathsf{\textsf{||}\!\!\!\overset{\;*******************}{\underset{-5}{\bullet}\!\!\textsf{||}\!\!\!\underset{-4}{\bullet}\!\!\!\textsf{|||||}\underset{1}{\circ}}\!\!\textsf{|||}\!\underset{3}{\circ}\!\!\textsf{|||}\!\!\underset{5}{\circ}\!\!\textsf{||}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}} \end{array}$


Este intervalo compreende todos os números que estão entre  – 5  e  1, incluindo o  – 5  e excluindo o  1. Temos aqui um intervalo fechado à esquerda, e aberto à direita.


Bons estudos! :-)