Question

a solucao do problema de valor inicial x(dy/dx) + y = ln x, com y(1)=2 é uma função do tipo y(x). Baseado nesta afirmação, pode-se afirmar que y(3) vale, aproximadamente

Answer 1

Seja y=f(x). Sabemos que a solução de um PVI da forma $y'+P(x)y=Q(x)$, com condição inicial $f(a)=b$ é dada por:

$f(x)=be^{-A(x)}+e^{-A(x)}\displaystyle\int_a^xQ(t)\cdot e^{A(t)}\,dt,$ onde $A(x)=\displaystyle\int_a^xP(t)\,dt$.

Desse modo, vamos manipular a equação dada para que fique na forma que está escrita na primeira linha desta resposta. Assim:

$x\dfrac{dy}{dx}+y=\ln(x)\\\\ \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{x}y=\dfrac{\ln(x)}{x}\\\\ y'+\dfrac{1}{x}y=\dfrac{\ln(x)}{x}$

Repare que dividimos toda a expressão por x, logo devemos ter $x\neq0$, condição que já estava garantida pelo fato de a expressão apresentar o termo $\ln(x)$.

Portanto, fazendo a associação do que foi obtido acima com a equação na forma padrão:

$y(1)=2\Longrightarrow a=1,~b=2\\\\ P(x)=\dfrac{1}{x},~~Q(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$

Agora, vamos calcular A(x):

$A(x)=\displaystyle\int_a^xP(t)\,dt\\\\ A(x)=\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{t}\,dt\\\\ A(x)=[\ln(t)]_1^x\\\\ A(x)=\ln(x)-\underbrace{\ln(1)}_{=0}\\\\ A(x)=\ln(x)$

Vamos, finalmente, calcular a expressão de f(x);

$f(x)=be^{-A(x)}+e^{-A(x)}\displaystyle\int_a^xQ(t)\cdot e^{A(t)}\,dt\\\\ f(x)=2e^{-\ln(x)}+e^{-\ln(x)}\displaystyle\int_1^x\dfrac{\ln(t)}{t}\cdot e^{\ln(t)}\,dt\\\\ f(x)=2x^{-1}+x^{-1}\displaystyle\int_1^x\dfrac{\ln(t)}{t}\cdot t\,dt\\\\ f(x)=2x^{-1}+x^{-1}\displaystyle\int_1^x\ln(t)\,dt\\\\ f(x)=2x^{-1}+x^{-1}[t\ln(t)-t]^x_1\\\\ f(x)=2x^{-1}+x^{-1}[(x\ln(x)-x)-(1\underbrace{\ln(1)}_{=0}-1)]\\\\f(x)=2x^{-1}+x^{-1}[x\ln(x)-x+1]\\\\ f(x)=2x^{-1}+\ln(x)-1+x^{-1}\\\\ \boxed{f(x)=\dfrac{3}{x}+\ln(x)-1}$

Tendo a equação de f(x), podemos encontrar y(3):

$y(x)=\dfrac{3}{x}+\ln(x)-1\\\\ y(3)=\dfrac{3}{3}+\ln(3)-1\\\\ y(3)=1+\ln(3)-1\\\\ \boxed{y(3)=\ln(3)}\Longrightarrow\boxed{\boxed{y(3)\approx1}}$