Question

A altura de um triângulo equilátero T tem comprimento igual ao lado de um triângulo equilátero V. Sabendo que a área de V é 10m^2. Responda qual é a área de T?

Answer 1

Primeiro vamos determinar algumas condições:

$h_{t} = altura~T \\ l_{t} = lado~T \\ l_{v} = lado ~V \\ A_{t} = area~T \\ A_{v} = area~V$

Logo temos em no triângulo T:

$h_{t} = \dfrac{l_{t} \sqrt{3} }{2} \\ \\ \\ A_{t} = \dfrac{(l_{t})^2 * \sqrt{3} }{4}$

No triângulo V:

$h_{v} = \dfrac{l_{v} \sqrt{3} }{2} \\ \\ \\ A_{v} = \dfrac{(l_{v})^2 * \sqrt{3} }{4}$

Logo pelo problema, temos a primeira equação para resolução deste exercício:

$h_{t} = l_{v} \\ \\ l_{v} = \dfrac{l_{t} \sqrt{3} }{2}$

A segunda equação será:

$A_{v} = 10 \\ \\ \dfrac{(l_{v})^2 * \sqrt{3} }{4} = 10 \\ \\ \\ (l_{v})^2 = \dfrac{40}{ \sqrt{3} } \\ \\ \\ (l_{v})^2 = \dfrac{40 \sqrt{3} }{3} \\ \\ \\ l_{v} = \dfrac{\sqrt{40}* \sqrt[4]{3} }{ \sqrt{3} }$

Logo na primeira equação temos:

$l_{v} = \dfrac{l_{t} \sqrt{3} }{2} \\ \\ \\ \dfrac{\sqrt{40}* \sqrt[4]{3} }{ \sqrt{3} } = \dfrac{l_{t} \sqrt{3} }{2} \\ \\ \\ 2 \sqrt{40} * \sqrt[4]{3} = 3*l_{t} \\ \\ \\ l_{t} = \dfrac{2 \sqrt{40} * \sqrt[4]{3} }{3}$

Logo a área de T será:

$A_{t} = \dfrac{(l_{t})^2 * \sqrt{3} }{4} \\ \\ \\ A_{t} = \dfrac{ \left ( \dfrac{2 \sqrt{40} * \sqrt[4]{3} }{3} \right )^2 * \sqrt{3} }{4} \\ \\ \\ A_{t} = \dfrac{ \left ( \dfrac{4*40 * \sqrt{3} }{9} \right ) * \sqrt{3} }{4} \\ \\ \\ A_{t} = \dfrac{4*40* 3 }{9*4} \\ \\ \\ A_{t} = \dfrac{40}{3} ~m^2$