Question

Uma matriz M =(mij) 2x2 é tal que det M=k. Obtém-se a matriz A através das seguintes transformações na matriz M :
- troca-se a primeira linha de posição com a segunda.
- multiplica-se cada um dos elementos por k
o determinante da matriz A assim obtida é

Answer 1

Quando se troca a posição de duas linhas em uma matriz, o determinante da matriz obtida é o oposto do determinante da matriz antiga:

$\bullet\,\,\,\mathsf{\det(M_{nova})=-\det(M_{antiga})}$

Quando se multiplica todos os elementos de uma matriz por um número real, o determinante da matriz gerada é multiplicado por esse número elevado a ordem da matriz:

$\bullet\,\,\,\mathsf{\det(kA)=k^{n}\det(A),~~onde~k~\'e~a~ordem~da~matriz~A}$
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Seja $A=kM_{1}$ a matriz obtida após os dois passos ($M_{1}$ é a matriz obtida após o primeiro passo). Queremos calcular

$\det(A)=\det(kM_{1})$

Pela propriedade 2, temos que

$\det(A)=k^{n}\det(M_{1})$

Agora, pela propriedade 1, $\det(M_{1})=-\det(M)$:

$\det(A)=k^{n}\cdot\big[-\det(M)\big]\\\\\\\boxed{\boxed{\det(A)=-k^{n}\det(M)}}$