Question

Calcule a integral abaixo:
$\int\ { (1+ x^{2} )^{9}2x } \, dx$

Answer 1

Olá

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$\displaystyle \int(1+x^2)^9~2xdx \\ \\ \\ \text{Vamos resolver por substituicao 'udu'} \\ \\ u=1+x^2 \\ \\ du=2xdx \\ \\ \text{Substituindo na integral} \\ \\ \\ \int u^9du \\ \\ \\ \text{Veja que agora temos uma integral de tabela, podemos resolver pela}\\\text{regra} \\ \\ \int x^pdx~= ~ \frac{x^{p+1}}{p+1}$

$\displaystyle \int u^9du \\ \\ \\ = \frac{u^{9+1}}{9+1} \\ \\ \\ = \frac{u^{10}}{10} \\ \\ \\ \text{Substitui o 'u' de volta} \\ u=1+x^2 \\ \\ \\ = ~\boxed{\frac{(1+x^2)^{10}}{10}+C }$


NOTA:
Veja que escolhemos (1+x²) para ser o nosso 'u'; quando calculamos o nosso 'du' 
(du é a derivada do u), ficara 2x... ok derivada de x² é 2x; e a derivada de uma constante(1) é zero... Veja que o 2x dx no 'du' é o que temos na nossa integral, então não é que ele desaparece, o 2x dx virou o nosso du.