Question

AJUDA EM EXERCÍCIO DE PG

Uma progressão geométrica infinita tem razão q = 1/2 e a1 = 1. Determine o menor número inteiro positivo n tal que Sn, a soma dos termos da progressão, satisfaça a desigualdade Sn > 8191/4096

Answer 1

Pela fórmula de soma dos termos finitos de uma PG, temos:
$S_{n}=\frac{ a_{1}*(q^n-1)}{(q-1)}=\frac{ 1*((1/2)^n-1)}{((1/2)-1)}=\frac{(1/2)^n-1}{-(1/2)}=$$- \frac{(1/2)^n}{(1/2)}+2=2-(1/2)^{n-1}$
Isso deve ser maior que 8191/4096, logo
$2-(1/2)^{n-1} \ \textgreater \ \frac{8191}{4096}$
$-(1/2)^{n-1} \ \textgreater \ \frac{8191}{4096} - 2$
$-(1/2)^{n-1} \ \textgreater \ \frac{8191}{4096}-\frac{8192}{4096}$
$-(1/2)^{n-1} \ \textgreater \ - \frac{1}{4096}$
$(1/2)^{n-1} \ \ \textless \ \frac{1}{4096}$
$2^{n-1} \ \ \textgreater \ \ 4096$
$2^{n-1} \ \ \textgreater \ \ 2^{12}$
$n-1 \ \textgreater \ 12$
$n \ \textgreater \ 13$

Logo o menor n que satifaz a condição é n = 14.