Question

uma das arestas de um tetraedro de volume 80 raiz de 3 cm^3 mede 10 cm. determine o volume de um tetraedro semelhante ao primeiro, sabendo que a aresta homologa mede 5 cm.

Answer 1

O tetraedro é um poliedro (sólido geométrico  - figura espacial) formado por 4 triângulos, onde cada um deles é chamado de face do tetraedro.

As arestas do tetraedro equivalem aos lados de cada um dos triângulos:

aresta = lado do triângulo


Adotemos que este tetraedro seja regular:


Fórmula do volume do tetraedro regular:

$V = \frac{1}{3} \ . \ A_{b} \ .\ h$

Onde:

$A_{b}$ = Área da base (base = face) [Área da face do tetraedro = área do triângulo]

$h$ = Altura


Precisamos, encontrar a área da base e a altura. Para isso, usamos as fórmulas:

$h = \frac{\sqrt{6}}{3} \ . \ a$

$A_{b} = \frac{\sqrt{3}}{4} \ . \ a^{2}$

Onde:

$a$ = aresta


Temos que:

Aresta do tetraedro semelhante = 5 cm

a = 5


Aplicando o valor de a nas fórmulas:


Cálculo da Altura:


$h = \frac{\sqrt{6}}{3} \ . \ a$

$h = \frac{\sqrt{6}}{3} \ . \ 5$

$h = \frac{5\sqrt{6}}{3}$



Cálculo da Área da base:


$A_{b} = \frac{\sqrt{3}}{4} \ . \ 5^{2}$

$A_{b} = \frac{\sqrt{3}}{4} \ . \ 25$

$A_{b} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$


Substituindo a altura e a base na fórmula do volume, temos:


$V = \frac{1}{3} \ . \ A_{b} \ .\ h$

$V = \frac{1}{3} \ . \ \frac{25\sqrt{3}}{4} \ .\ \frac{ 5\sqrt{6}}{3}$

$V = \frac{1 \ .\ 25 \ . \ 5\sqrt{3 \ . \ 6}}{4 \ . \ 3}$

$V = \frac{125\sqrt{18}}{12}$

$V = \frac{125\sqrt{2 \ . \ 3 \ . \ 3}}{12}$

$V = \frac{125\sqrt{2 \ . \ 3^{3}}}{12}$

$V = \frac{3 \ .\ 125\sqrt{2}}{12}$

Aqui, podemos simplificar o 3 do numerador com o 12 do denominador:



$V = \frac{125\sqrt{2}}{4}$

Portanto, o volume do tetraedro semelhante é $\frac{125\sqrt{2}}{4} \ cm^{3}$

Ou ainda:

31,25 $\sqrt{2}$ cm³