Question

Mostre que o triangulo de vértices A(-1,-3), B(6,1) e C(2,-5) é retângulo.

Answer 1

Olá Cyntty,

dados os vértices A(-1,-3); B(6,1) e C(2,-5), basta calcular as distâncias entre AB, BC e AC, usando a relação de distância entre dois pontos:

$\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(6,5)\put(1,1){\line(0,1){3}}\put(1,1){\line(1,0){4}}\put(1,4){\line(4,-3){4}}\put(0.6,0.8){\textit{C}}\put(5.05,0.8){\textit{B}}\put(0.6,4.05){\textit{A}}\put(3,2.55){\textit{}}\put(0.6,2.5){\textit{}}\put(2.95,0.6){\textit{}}\put(1,1.2){\line(1,0){0.2}}\put(1.2,1){\line(0,1){0.2}}\end{picture}$

$d_{ \alpha \beta }= \sqrt{(x-x_o)^2+(y-y_o)^2}$

_______________________

Distância de AB:

$d_{AB}= \sqrt{(6-(-1))^2+(1-(-3))^2} \\ d_{AB}= \sqrt{(6+1)^2(1+3)^2}\\ d_{AB}= \sqrt{7^2+4^2}\\ d_{AB}= \sqrt{49+16}\\ d_{AB}= \sqrt{65}\\.$

Distância de BC:

$d_{BC}= \sqrt{(2-6)^2+(-5-1)^2}\\ d_{BC}= \sqrt{(-4)^2+(-6)^2}\\ d_{BC}= \sqrt{16+36} \\ d_{BC}= \sqrt{52}$

Distância de AC:

$d_{AC}= \sqrt{(2-(-1))^2+(-5-(-3))^2}\\ d_{AC}= \sqrt{(2+1)^2+(-5+3)^2} \\ d_{AC}= \sqrt{3^2+(-2)^2}\\ d_{AC}= \sqrt{9+4} \\ d_{AC}= \sqrt{13}$

Elevando os dois menores lados do triângulo ao quadrado, somando-os, deverá ser igual ao quadrado do maior lado (Teorema de Pitágoras):

$( \sqrt{13})^2+( \sqrt{52})^2= ( \sqrt{65})^2\\ 13+52=65$

Portanto, o triângulo acima é retângulo .

Tenha ótimos estudos =))