Question

Em um recipiente com capacidade térmica 30 cal/°C a 89 °C, há 60 g de água em equilíbrio térmico. Determine a quantidade, em g, de certo líquido a 10 °C que deve ser adicionada ao recipiente para que o sistema alcance a temperatura final de 40 °C.

(Sabe-se que o líquido possui um calor específico cL que varia com a temperatura T atingida pelo líquido segundo a lei cL = (0,5 +0,04T) cal/g.°C)

a) 36
b) 98
c) 52
d) 40
e) 76


Meu raciocínio foi:

∑Q = 0
(mcΔθ)H₂O + (mcΔθ)recipiente + (mcΔθ)líquido = 0
60.1.(θf - 89) +30(θf - 89) + 2,1.m(θf - 10) = 0
90(θf - 89) = -2,1.m(θf- 10)
90(40 - 89) = -2,1.m(40 - 10)
90 . -49 = -2,1.m.30
m = 4410/63
m = 70g
, mas não há essa alternativa. No que eu estou errando? Obg.

Answer 1

$Adotando \ que \ o \ sistema \ seja \ adiab\acute{a}tico \ , \ temos \ que \ : \\ \\ \boxed{\boxed{\sum Q \ = \ 0}} \\ \\ Q_a \ + Q_R +Q_L \ = \ 0 \\ \\ Sendo \ Q_a \ relativo \ a \ '' \ qualquer \ coisa \ relativa \ \grave{a} \ \acute{a}gua \ ; \ Q_R \ relativo \\ ao \ recipiente \ ; \ Q_L \ relativo \ ao \ l\acute{i}quido \ . \\ \\ \rightarrow \ Para \ a \ \acute{a}gua \ e \ o \ l\acute{i}quido \ desconhecido \ vamos \ utilizar \ a \\ express\tilde{a}o , \\ \\ \boxed{Q=m.c. \Delta \theta}$

$\rightarrow \ Pelo \ fato \ de \ n\tilde{a}o \ ter \ sido \ informado \ o \ calor \ espec\acute{i}fico \ do \\ recipiente \ e \ sim \ sua \ capacidade \ t\acute{e}rmica \ adotaremos \ a \ seguinte \\ express\tilde{a}o \ , \\ \\ \boxed{C \ = \ \frac{Q}{\Delta \theta} } \ \ \Rightarrow \ \ \boxed{Q \ = \ C. \Delta \theta} \\ \\ \\ \rightarrow Lembrando \ que \ c_a \ = 1,0 \ cal/g \ ^\circ C \\ \\ Retomando \ ,$

$Q_a +Q_R+Q_L \ = \ 0 \\ m_a.c_a. \Delta \theta + C_c. \Delta \theta + m_L.c_L. \Delta \theta \ = \ 0 \\ \\ Substituindo \ os \ valores \ , \\ \\ (60).(1).(40-89)+(30).(40-89)+m_L.c_L.(40-10) \ = \ 0 \\ 60.(-49) +30+(-49)+m_L.c_L.(30) \ = \ 0 \\ 2.(-49) + (-49) + m_L.c_L \ = \ 0 \\ 3.(-49) + m_L.c_L \ = \ 0 \\ m_L.c_L \ = \ 147 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (i)$

$\rightarrow O \ termo \ (i) \ serve \ apenas \ para \ enumerar \ a \ equa\c{c}\tilde{a}o \ acima . \\ Para \ que \ quando \ eu \ for \ me \ referir \ a \ essa \ express\tilde{a}o \ eu \ mencione \\ somente \ o \ termo \ (i) .$

$Na \ quest\tilde{a}o \ nos \ foi \ informada \ lei \ da \ fun\c{c}\tilde{a}o \ que \ de fine \\ a \ varia\c{c}\tilde{a}o \ do \ calor \ espec\acute{i}fico do l\acute{i}quido \ ( c_L ) \ , \\ \\ c_(_T_) \ = \ 0,5 + 0,04.(T) \\ \\ Pelo \ fato \ do \ mesmo \ n\tilde{a}o \ ser \ constante \ irei \ utilizar \ m\acute{e}dia \\ aritm\acute{e}tica \ de \ c_L \ nas \ temperaturas \ 10 \ ^\circ C \ e \ 40 ^\circ C \ ( \ por \ serem \\ a \ temperatura \ inicial \ e \ final \ do \ l\acute{i}quido \ no \ sistema \ ).$

$c(10) \ = \ 0,5 \ + \ 0,04.(10) \\ c(10) \ = \ 0,9 \ cal/g ^\circ C \\ \\ c(40) \ = \ 0,5 \ + \ 0,04.(40) \\ c(40) \ = 2,1 \ cal/g ^\circ C \\ \\ c_L \ = \ \frac{c(10)+c(40)}{2} \\ c_L \ = \ \frac{0,9+2,1}{2} \\ c_L \ = \ 1,5 \ cal/g ^\circ C \\ \\ Substituindo \ o \ valor \ encontrado \ de \ c_L \ em \ ( i ) \ ,$

$m_L.(1,5) \ = \ 147 \\ m_L \ = \ 98 \ g \ \ \ \ \boxed{letra \ b)}$