Question

Classifique os sistema e caso SPD determine os valores de x,y e z
FAÇA PELO MÉTODO DO ESCALONAMENTO. (ENSINANDO COMO FAZ)

3x + 11y + 10z = 5
2x - y + 3z = 7
x + 2y + 4z = 1

Answer 1

Olá

$\left\{\begin{array}{lll}3x+11y+10z=5\\2x-y+3z=7\\x+2y+4z=1\end{array}\right$

Para escalonar, temos que zerar o 'X' da segunda equação, e o X e o Y da terceira equação...

Para isso, temos que achar equações equivalentes, no qual, quando somarmos as duas, o X da segunda equação irá cancelar.

Então, temos que multiplicar a 1ª equação por 2, e a segunda equação por -3, com isso, o 'x' irão se cancelar.

Então 

L2 = 2L1 + 3L2

Ou seja, a Linha 2 vai ser a soma de (2 vezes a linha 1 + (-3)vezes a linha 2)

$L1 :~3x + 11y + 10z = 5~~~ ~~~~ ~~~\cdot (2) \\ L2:~ 2x - y + 3z = 7~~~ ~~~~ ~~~~~~\cdot (-3) \\ \\ \\~~~~ 6x+22y+20z=10 \\ -6x+3y-9z=-21~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~\text{Soma as duas} \\ \\ \\ ~25y+11z=-11~~~~~ ~~~~~\text{Esta e a nossa nova linha 2}$

O nosso sistema está assim por enquanto

OBS: A linha 1 sempre será a original.

$\left\{\begin{array}{lll}3x+11y+10z=5\\~~~~~~~25y+11z=-11\\x+2y+4z=1\end{array}\right$


Agora temos que zerar o X da terceira linha, e em seguida o Y.

Multiplique a linha 3 por (-3) com isso eliminaremos o X.

L3 = -3L3 + L1

$L1:~3x + 11y + 10z = 5 \\ L3:~x + 2y + 4z = 1~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~\cdot (-3) \\ \\ \\ ~~~~3x + 11y + 10z = 5 \\ -3x -6y -12z = -3~~~~ ~~~~ ~~~~ ~\text{Some as duas} \\ \\ \\ 5y-2z=2~~~~~ ~~~ ~~\text{Essa e a nova linha PARCIAL}$


Agora temos que zerar o Y

OBS: Sempre temos que trabalhar com as novas equações que encontramos.

Para isso, multiplica a linha 3 por (-5), com isso o y irá se anular

L3 = -5L3 + L2

$L2:~25y+11z=-11 \\ L3:~5y-2z=2 ~~~~~~ ~~~~~~~~~\cdot (-5) \\ \\ \\~~~~ ~25y+11z=-11 \\ ~-25y+10z=-10 \\ \\ \\ 21z=-21~~~~~ ~~\text{nossa nova linha 3}$


Nosso sistema escalonado ficou

$\left\{\begin{array}{lll}3x+11y+10z=5\\~~~~~~~25y+11z=-11\\~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~21z=-21\end{array}\right$


Já podemos encontrar logo de cara o valor do 'z', pegando a 3ª equação.

$21z=-21 \\ \\ \boxed{z=-1}$


Para encontrar o valor do y, pega a segunda equação e substitui o valor de 'z' que encontramos

$25y+11z=-11 \\ \\ 25y + 11\cdot(-1)=-11 \\ \\ 25y-11=-11 \\ \\ y= \frac{0}{25} ~~~~~~~\longrightarrow~~~~~~~ ~~~~~ ~\boxed{y= 0 }$


Encontrando o valor do X

$3x+11y+10z=5 \\ \\ 3x+11\cdot(0)~+~10(-1)=5 \\ \\ 3x+0-10=5 \\ \\ x= \frac{15}{3} ~~~~~~~~~~ ~~\longrightarrow~~~~~~~\boxed{x=5}}$


Conjunto solução

$\boxed{S=\{5,0,-1\}}$

SPD
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Qualquer dúvida deixe nos comentários.