Question

Encontre cinco numeros inteiros em uma p.a cujo a soma seja 65 e o produto dos dois primeiros termos seja 24

Answer 1

Olá ^^.

considere os cinco números em progressão aritmética,

$P.A.(x-2r,~x-r,~x,~x+r,~x+2r)$

podemos então montar um sistema de equações:

$\begin{cases}(x-2r)+(x-r)+x+(x+r)+(x+2r)=65\\ (x-2r)(x-r)=24\end{cases}\\\\\\ \begin{cases}5x=65~~(I)\\ (x-2r)(x-r)=24~~(II)\end{cases}$

Isolando x na equação I, podemos substituí-lo na equação II:

$x= \dfrac{65}{5}~\to~x= 13\\\\ (13-2r)(13-r)=24\\ 169-13r-26r+2r^2=24\\ 2r^2-39r+169-24=0\\ 2r^2-39r+145=0$

$\Delta=b^2-4ac\\ \Delta=(-39)^2-4\cdot2\cdot145~~~~~~.\\ \Delta=1.521-1.160\\ \Delta=361\\\\ r= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}= \dfrac{-(-39)\pm \sqrt{361} }{2\cdot2}= \dfrac{39\pm19}{4}\begin{cases}r'= \dfrac{39-19}{4}= \dfrac{20}{4}=5\\\\ r''= \dfrac{39+19}{4}= \dfrac{58}{4}=\dfrac{29}{2}\end{cases}$

Agora substitua x e r na P.A.:

para r=5, a P.A. será:

$(x-2r,~x-r,~x,~x+r,~x+2r)\\ (13-2\cdot5,~13-5,~13,~13+5,~13+2\cdot5). \\\\ \Large\boxed{\boxed{\boxed{P.A.=(3,8,13,18,23)}}}.\\.$

Tenha ótimos estudos ;D