Question

A solução de uma equação diferencial é uma "família" de funções. Em um problema de valor inicial, é fornecido um ponto pertencente a apenas um dos "membros dessa família". Então a solução torna se uma unica função y(x), pois, pode-se, com a condição inicial, determinar o valor da constante (c). Sabendo disso, o valor de "c" da solução do problema de valores iniciais dy/dx-y = e^(2x), com y(0)=3, é:

Answer 1

$\displaystyle \frac{dy}{dx}-y=e^{2x}$
A equação diferencial já está na forma comum, multiplicaremos então ambos os lados por um fator integrante, uma função contínua para todos reais:
$I(x)=\text{fator integrante}$
a equação ficará:
$\displaystyle I(x)\frac{dy}{dx}-I(x)y=I(x)e^{2x}$
vamos compara o lado esquerdo da igualdade à regra do produto:
$(y\cdot I(x))'=I(x)y'+I'(x)y\\\text{onde pela equacao acima, deduzimos que }I'(x)=-I(x)$
desse modo ainda podemos fazer assim:
$(I(x)\cdot y)'=I(x)e^{2x}$
Integrando dos dois lados obteremos:
$\displaystyle \int(I(x)\cdot y)dx=\int e^{2x}dx\implies y(x)=\frac{1}{I(x)}\int e^{2x}dx$
para encontrar essa solução só precisamos encontrar o valor de I(x), que pode ser deduzido a partir de:
$\displaystyle I'(x)=-I(x)\implies \frac{dI}{dx}=-I(x)\\\text{separando e integrando:}\\\\i)~~~~\frac{dI}{dx}=-I(x)\\\\ii)~~~\frac{dI}{I(x)}=-dx\\\\iii)~~\int\frac{dI}{I(x)}=-\int dx\\\\iv)~~~\ln|I(x)|=-x+(c_1-c_2)~~[\text{considerar constantes }=1]\\\\v)~~~I(x)=e^{-x}$
Encontramos o fator integrante, substituiremos I(x) pelo seu respectivo valor na equação da solução que deduzimos:
$\displaystyle i)~~~~y(x)=\frac{1}{I(x)}\int I(x)e^{2x}dx\\\\ii)~~~y(x)=e^x\int e^{3x}dx\\\\iii)~~~y(x)=e^x\cdot \left(e^x+c_1\right)\\\\iv)~~~\boxed{\boxed{y(x)=e^{2x}+e^xc_1}}$

vamos testar nossa solução:
$\displaystyle y'-y=e^{2x}\\ \left \{ {{y=e^{2x}+c_1e^{x}} \atop {y'=2e^{2x}+c_1e^x}} \right. \\\\i)~~~~(2e^{2x}+c_1e^x)-e^{2x}-c_1e^x=e^{2x}$

Para resolver o problema do valor inicial basta calcular a solução no ponto dado:
$i)~~~~y(0)=e^{0}+c_1e^0\\\\ii)~~~y(0)=1+c_1\\\\iii)~~y(0)=3\implies 1+c_1=3\\\\iv)~~~c_1=2$
logo a constante vale 2, a solução particular dessa EDO é:
$\boxed{\boxed{y(x)=e^{2x}+2e^x}}$

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