Question

2) Um artista deve desenvolver uma peça, que terá em sua estrutura o apoio duas vigas paralelas. Cadauma das vigas são definidas pelos vetores u = (4, n − 2, 12) e v = (1, n + 4, 3). Entretanto paradesenvolver a peça o artista precisa saber o valor de n. Desta forma, qual deve ser o valor de n paraque as vigas sejam paralelas?

Answer 1

Olá

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Se os vetores são paralelos, há um número real α tal que

u = αv

Então primeiramente, temos que encontrar o valor de α.

$\vec{u}= \alpha \vec{v} \\ \\ (4,~ n - 2,~ 12)~=~ \alpha (1,~ n + 4,~ 3) \\ \\ (4,~ n - 2,~ 12)~=~ (\alpha,~\alpha (n + 4),~ 3\alpha) \\ \\ (4,~ n - 2,~ 12)~=~ (\alpha,~\alpha n + \alpha 4),~ 3\alpha) \\ \\ \\ \text{Monta um sistema} \\ \\ \left\{\begin{array}{lll}4~= \alpha ~\\n-2~=\alpha n+4\alpha ~\\12~=~3\alpha \end{array}\right \\ \\ \\ \text{Podemos notar que }~~~\boxed{\alpha =4}$


Agora vamos substituir o valor de α na 2ª equação do sistema que criamos.
Com isso conseguiremos descobrir o valor do n.

$n-2~=\alpha n+4\alpha ~ \\ \\ n-2=4n+4\cdot 4 \\ \\ n-4n=16+2 \\ \\ -3n=18~~~~~ ~~\cdot (-1)~~~~~~~ ~~~ ~~~\text{Multiplica por (-1) pra tirar o negativo} \\ \\ 3n=-18 \\ \\ n= -\frac{18}{3} \\ \\ \\ \boxed{n=-6}~~~~~~ ~~~~~\longleftarrow~~~\text{Resposta}$


Para confirmar, vamos substituir o valor de n no vetor, lembrando que se os vetores são paralelos, então eles são proporcionais tal que

$\frac{ \alpha 1}{ \beta 1} = \frac{ \alpha 2}{ \beta 2} = \frac{ \alpha 3}{ \beta 3}$

Substituindo o valor de n

$(4, ~n - 2, ~12) = (1,~ n + 4,~ 3) \\ \\ (4, ~-6 - 2, ~12) = (1,~ -6 + 4,~ 3) \\ \\ (4, ~-8, ~12) = (1,~ -2,~ 3) \\ \\ \\ \text{Agora vejamos se ambos sao proporcionais} \\ \\ \frac{4}{1} = \frac{-8}{-2} = \frac{12}{3} \\ \\ \boxed{4=4=4}$