Question

Obter a equação do plano que contém os pontos A=(3,0,1), B=(2,1,1) e C=(3,2,2).

Answer 1

Podemos determinar dois vetores diretores do plano como AB e AC

vetor AB = (2-3, 1-0, 1-1) = (-1, 1, 0)
vetor AC = (3-3, 2-0, 2-1) = (0, 2, 1)

Portanto, um vetor normal ao plano será dado pelo produto vetorial dos vetores AB e AC
                  |   i     j   k   |
AB x AC = |  -1   1   0  | = (1-0, 0-(-1), -2-0) = (1, 1, -2)
                  |  0    2    1 |

Como o vetor (1, 1, -2) é normal ao plano a equação do plano será:

1x + 1y - 2z = d ⇒
x + y - 2z = d

Para determinar o valor de "d", usamos o fato de que o ponto A = (3, 0, 1) pertence ao plano, portanto suas coordenadas devem satisfazer a equação do plano. Substituindo as coordenadas do ponto A na equaçã do plano, teremos:

x + y - 2z = d ⇒
3 + 0 - 2*1 = d ⇒
d = 1

Assim, a equação do plano será

x + y - 2z = d ⇒
x + y - 2z = 1