Question

É possível encontrar dois múltiplos inteiros de 7 tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 27?

Answer 1

Olá, Paulo.

Prova-se a impossibilidade desta conjectura por absurdo.
Suponhamos que existam dois números inteiros múltiplos de 7, que denotaremos por $7a$ e $7b$, $a$ e $b\in\mathbb{N}$, tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 27.
Teríamos então que:

$7a=7b\cdot q+27$, onde $q$ é o quociente e 27 o resto da divisão.

Isto implica que:

$7a-7bq=27\Rightarrow7(a-bq)=27$

Como $a,b$ e $q$ são números inteiros, então $a-bq$ também é um número inteiro.
Entretanto, temos que:
 
$a-bq=\frac{27}7$

Chegamos, portanto, ao absurdo, pois, na igualdade acima, temos, do lado esquerdo, um número inteiro e, do lado direito, um número não inteiro, pois 27 não é divisível por 7.
Como o absurdo decorre da hipótese de que existem dois múltiplos inteiros de 7 tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 27, então esta hipótese é falsa, ou seja, estes números não existem.