Question

Resolva em $R$ a inequação:

$\dfrac{1}{x -1} + \dfrac{2}{x-2} - \dfrac{3}{x-3} \ \textless \ 0$

Tentei fazer essa questão por função, mas não cheguei a lugar algum. Podem me ajudar?

Answer 1

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Resolver a inequação:

$\mathsf{\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}<0}$


•   Condição de existência para a inequação:

Os denominadores não podem se anular. Portanto, devemos ter

$\mathsf{x\ne 1,~~x\ne 2~~e~~x\ne 3.}$

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•   Resolvendo:

Reduza as frações do lado esquerdo ao mesmo denominador:

$\mathsf{\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)}+\dfrac{2(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)}-\dfrac{3(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}<0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)-3(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}<0}$


Expanda os produtos no numerador para eliminar os parênteses:

$\mathsf{\dfrac{x^2-3x-2x+6+2(x^2-3x-x+3)-3(x^2-2x-x+2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}<0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x^2-5x+6+2(x^2-4x+3)-3(x^2-3x+2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}<0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x^2-5x+6+2x^2-8x+6-3x^2+9x-6}{(x-1)(x-2)(x-3)}<0}$


Agrupando e reduzindo os termos semelhantes,

$\mathsf{\dfrac{x^2+2x^2-3x^2-5x-8x+9x+6+6-6}{(x-1)(x-2)(x-3)}<0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{-4x+6}{(x-1)(x-2)(x-3)}<0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{-2(2x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)}<0}$


Dividindo os dois lados por  – 2,  que é negativo, o sentido da desigualdade se inverte:

$\mathsf{\dfrac{2x-3}{(x-1)(x-2)(x-3)}>0}\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-quociente.}$


Agora, montamos o quadro de sinais:

                 $\large\begin{array}{cc} \mathsf{2x-3}&\qquad\quad~~~\mathsf{\overset{~~---}{\textsf{|||}}\!\!\underset{1}{\circ}\!\!\overset{--}{\textsf{||}}\!\!\overset{0}{\underset{\frac{3}{2}}{\bullet}}\!\!\overset{++}{\textsf{||}}\!\!\underset{2}{\circ}\!\!\overset{++++++}{\textsf{||||}}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{|||}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}}\\\\ \mathsf{x-1}&\qquad\quad~~~\mathsf{\overset{~~---}{\textsf{|||}}\!\!\overset{0}{\underset{1}{\circ}}\!\!\overset{++}{\textsf{||}}\!\!\underset{\frac{3}{2}}{\bullet}\!\!\overset{+++}{\textsf{||}}\!\!\underset{2}{\circ}\!\!\overset{++++++}{\textsf{||||}}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{|||}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}}\end{array}$

                 $\large\begin{array}{cc}\mathsf{x-2}&\qquad\qquad~\mathsf{\overset{~~---}{\textsf{|||}}\!\!\underset{1}{\circ}\!\!\overset{---}{\textsf{||}}\!\!\underset{\frac{3}{2}}{\bullet}\!\!\overset{--}{\textsf{||}}\!\!\overset{0}{\underset{2}{\circ}}\!\!\overset{++++++}{\textsf{||||}}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{|||}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}}\\\\ \mathsf{x-3}&\qquad\qquad~\mathsf{\overset{~~---}{\textsf{|||}}\!\!\underset{1}{\circ}\!\!\overset{---}{\textsf{||}}\!\!\underset{\frac{3}{2}}{\bullet}\!\!\overset{--}{\textsf{||}}\!\!\underset{2}{\circ}\!\!\overset{------}{\textsf{||||}}\!\!\overset{0}{\underset{3}{\circ}}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{|||}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}}\end{array}$

$\large\begin{array}{cc} \mathsf{\dfrac{2x-3}{(x-1)(x-2)(x-3)}}&\quad\mathsf{\overset{~~+++}{\textsf{|||}}\!\!\underset{1}{\circ}\!\!\overset{--}{\textsf{||}}\!\!\overset{0}{\underset{\frac{3}{2}}{\bullet}}\!\!\overset{++}{\textsf{||}}\!\!\underset{2}{\circ}\!\!\overset{------}{\textsf{||||}}\!\!\underset{3}{\circ}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{|||}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright \end{array}} \end{array}$


Como queremos que o quociente seja positivo, o intervalo de interesse é

$\mathsf{x<1~~~ou~~~\dfrac{3}{2}<x<2~~~ou~~~x>3.}$


Conjunto solução:

$\mathsf{S=\left]-\infty,\,1\right[\,\cup\, \left]\frac{3}{2},\,2 \right[\,\cup\,\left]3,\,+\infty \right[.}$


Bons estudos! :-)