Question

Galera me ajudem nesta questão fazendo o favor, é a de número 16. Rápido

Answer 1

Se $\dfrac{4x}{x^2+2}$ é um número inteiro, então existe um inteiro $k$, tal que:

$4x=(x^2+2)k$, ou seja, $k$ é o quociente da divisão de $4x$ por $(x^2+2)$.

Temos que, $4x=kx^2+2k$, ou seja, $kx^2-4x+2k=0$.

Assim, $\Delta=(-4)^2-4\cdot k\cdot (2k)=16-8k^2$.

Como $x$ é real, devemos ter $\Delta>0$, isto é,

$16-8k^2>0$, logo, $k^2<2$ e obtemos:

$-\sqrt{2}<k<\sqrt{2}$

Tomando $\sqrt{2}=1,4142$, concluímos que:

$-1,4142<k<1,4142$

Como $k$ é um número inteiro, temos três possibilidades: $k=-1$, $k=0$, $k=1$

$\rhd$ $k=-1$:

Se $k=-1$, lembrando que, $kx^2-4x+2k=0$, obtemos:

$-x^2-4x-2=0$

$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)}}{2\cdot(-1)}$

$x=\dfrac{4\pm\sqrt{8}}{-2}=\dfrac{4\pm2\sqrt{2}}{-2}=-2\pm\sqrt{2}$

Logo, $x'=-2+\sqrt{2}$ e $x"=-2-2\sqrt{2}$.

$\rhd$ $k=0$

Se $k=0$, temos que, $-4x=0$, ou seja, $x'''=0$

$\rhd$ $k=1$

Para $k=1$, obtemos $x^2-4x+2=0$.

Assim, $x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot2}}{2}=\dfrac{4\pm\sqrt{8}}{2}$.

$x=\dfrac{4\pm2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}$.

Logo, $x""=2+\sqrt{2}$ e $x""'=2-\sqrt{2}$.

Portanto, há $5$ possíveis valores reais para $x$, de modo que, $\dfrac{4x}{x^2+2}$ seja um número inteiro.

$x=\{-2-\sqrt{2}, -2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2},0, 2+\sqrt{2}\}$

$\text{Alternativa E}$