Question

lim de x tende a 1/2 2x elevado a 2 + 5x -3/ 2x elevado a 2-5x+2

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Janiedna, que a resolução é simples.
Pede-se o limite da seguinte expressão, quando "x" tende a "1/2", ou seja:

lim (2x²+5x-3)/(2x²-5x+2)
x-->1/2

Veja: se formos substituir diretamente o "x" por "1/2", vamos encontrar algo como "0/0", o que é uma indeterminação. E essa indeterminação deverá ser levantada.
Para isso, note que as raízes da equação do numerador (2x²+5x-3) são estas: x' = -3. e x'' = 1/2.
Por sua vez, note que as raízes da equação do denominador (2x²-5x+2) são estas: x' = 1/2 e x'' = 2.

Agora note: uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e x'', ela poderá ser simplificada, em função de suas raízes, da seguinte forma:

ax² + bx + c = a*(x-x')*(x-x'') .

Tendo, portanto, a relação acima como parâmetro, então vamos simplificar as duas equações (a do numerador e a do denominador) em função de suas raízes. Assim, teremos que a expressão dada será transformada na a seguir, após simplificarmos as duas equações em função de suas raízes:

lim [2*(x-(-3)*(x-1/2)] / [2*(x-1/2)*(x-2)] ----- desenvolvendo, teremos:
x-->1/2

lim [2*(x+3)*(x-1/2)] / [2*(x-1/2)*(x-2)]
x-->1/2 

Agora note que poderemos simplificar (x-1/2) do numerador com (x-1/2) do denominador, com o que ficaremos apenas com:

lim [2*(x+3)] / [2*(x-2)]
x-->1/2

Agora note que já poderemos substituir o "x" por "1/2" que não haverá mais indeterminação. Veja:

[2*(1/2+3)] / [2*(1/2 - 2] ---- efetuando os produtos indicados, teremos;
[2*1/2+2*3] / [2*1/2 - 2*2] = [2/2 + 6] / [2/2 - 4] = [1+6]/[1-4] = 7/-3 = - 7/3 .

Assim, teremos que, quando "x" tende a "1/2" na expressão dada,  o limite será "-7/3", ou seja, teremos isto:

lim [2x²+5x-3]/[2x²-5x+2] = - 7/3 <--- Esta é a resposta. Este é o limite pedido.
x-->1/2

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.