Question

Uma partícula tem o vetor posição $\vec{r}=30t~\vec{i}+(40t-5t^{2})\vec{j}$, com r em metros e t em segundos. Determinar, em função de t, os vetores velocidade instantânea e aceleração instantânea.

Answer 1

→ Lembrete (Regra da potência):

$f\left(x\right)=ax^n\\\:f'\left(x\right)=nax^{n-1}$
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Derivada de uma função nada mais é do que a inclinação da reta ou seja a derivada da função posição de uma particula é o espaço pelo tempo que é a velocidade. 
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→ O vetor posição da partícula é determinada em função do tempo:

$\vec{r}=30t\vec{i}+\left(40-5t^2\right)\vec{j}$ 
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→ Para determinarmos a velocidade instantânea da partícula em determinado instante basta derivar o vetor:

$\vec{v}=\frac{d}{dt}\left(30t\vec{i}+\left(40-5t^2\right)\vec{j}\right\\\vec{v}=\left(30\vec{i}+\left(0-\left(5\cdot \:2\right)t^{\left(2-1\right)}\right)\vec{j}\right)\\\boxed{\bold{\vec{v}=30\vec{i}-10t^{ }\vec{j}}}$
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→ Para determinarmos a aceleração instantânea da partícula em determinado instante basta derivar o vetor velocidade:

$\vec{a}=\frac{d}{dt}\left(30\vec{i}-10t^{\:}\vec{j}\right)\\\vec{a}=0\vec{i}-10^{\:}\vec{j}\\\boxed{\bold{\vec{a}=-10^{\:}\vec{j}}}$