Question

(Fuvest) O produto de três números inteiros é igual a 27 e a soma de dois deles é igual a 6. Qual é a soma dos três números:

A) se todos são positivos?

B) se dois são negativos?

Answer 1

Todos positivos.
3+3+3=9

dois negativos:
-1x-3x9=27
-3+9+(-1)= 5

Answer 2

a) a•b•c=27
a+b=6 -> a=b-6
ab=27/c
(b-6)•b=27/c
c=27/[b(b-6)]
a+b+c=(a+b)+c=6+27/[b(b-6)]
agora basta achar valores possíveis para a equação ter a,b,c inteiros positivos,e portanto a soma tbm será inteira e positiva,para isso o denominador b(b-6) terá que ser divisível de 27,e os divisíveis de 27 são 1,3,9. Portanto temos as possibilidades
b(b-6)=1 ->não há nenhum b inteiro positivo que satisfaça (pode conferir se quiser)
b(b-6)=3 ->não há nenhum b inteiro positivo que satisfaça
b(b-6)=9 ->b-6=3 e b=3 (pois 3x3=9)
Logo b=3
Se a=6-b, então a= 3
Se c=27/ab, então c=27/3•3=27/9=3

Então a+b+c= 3+3+3=9

b) a e c <0, c e b <0, a primeira possibilidade não é válida pois,a+b=6, então só temos 2,se c e b forem negativos (<0),nos aplicamos a mesma equação que é válida para todos os casos, 27/b(b-6) + 6= a+b+c. tendo b negativo,e os valores continuam sendo obrigatóriamente racionais,entao temos b=-3, pois é o único número que substituindo na equação,dara um número racional,e com b negativo. Então a soma será 27/b(b-6)+6=27/(-3•-9)+6=27/-27+6=-1+6=5. A outra possibilidade é se a e c forem negativos e o b positivo,porem isso não é possivel,pois a única solução que tem b positivo é 3,onde a soma a+b+c=9,logo a+c teria que ser igual a 6,e nenhuma soma de números negativos pode ser positiva,entao definitivamente,se temos 2 números negativos,a soma a+b+c=5