Question

A figura a seguir mostra três circunferências de raios iguais a 1, tangentes entre si duas a duas, e uma circunferência maior tangente às três primeiras. Calcule a área da região A.

Answer 1

Olá, Paulo.

O raio $R$ da circunferência maior é dado pela soma do segmento $\overline{OC}_2$ com o raio da circunferência de centro em $C_2$.
Chamemos o raio da circunferência de centro em $C_2$ de $r_{C_2}$.
Encontra-se o tamanho do segmento $\overline{OC}_2$ pelo Teorema de Pitágoras, da seguinte forma:

$(\overline{OC}_2)^2=r_{C_2}^2+[\text{ap\'otema do }\triangle C_1C_2C_3\text{ equil\'atero}]^2\Rightarrow\\\\ (\overline{OC}_2)^2=1^2+(\frac{\overline{C_2C_3}\sqrt3}{6})^2=1+(\frac{2\sqrt3}{6})^2=1+\frac{4\cdot3}{36}=1+\frac13=\frac43\Rightarrow\\\\ \overline{OC}_2=\sqrt{\frac43}=\frac{2}{\sqrt3}\Rightarrow\boxed{\overline{OC}_2=\frac{2\sqrt3}{3}}$

O raio da circunferência maior é, portanto:

$R=\overline{OC}_2+r_{C_2}= \frac{2\sqrt3}3+1$

A área da circunferência maior é:

$\pi R^2=\pi(\frac{2\sqrt3}3+1)^2=\pi(\frac{2\sqrt3+3}3)^2=\pi(\frac{4\cdot3+12\sqrt3+9}9)=\pi(\frac{21+12\sqrt3}{9})=\\\\=\boxed{\left(\frac{7+4\sqrt3}3\right)\pi}$

Cada uma das circunferências menores possui área igual a $\pi\cdot1^2=\pi$.
Chamemos a região em torno do centro O, compreendida entre as três circunferências menores, de S.
A região S tem área igual à área do $\triangle C_1C_2C_3$ menos 3 vezes a sexta parte da área de uma circunferência menor (como o $\triangle C_1C_2C_3$ é equilátero, então seus ângulos internos são iguais a 60º, que é um sexto de 360º, isto é, a volta inteira de uma circunferência).
A região S tem área, portanto, de:

$A_S=\frac{\sqrt3}4(\overline{C_1C_2})^2-3\cdot\frac\pi6=\frac{\sqrt3}4\cdot2^2-\frac\pi2=\boxed{\sqrt3-\frac\pi2}$

A área da circunferência maior sem as três áreas das circunferências menores e sem a região S é:

$\left(\frac{7+4\sqrt3}3\right)\pi-3\pi-\sqrt3+\frac\pi2=\left(\frac{14+8\sqrt3-18+3}6\right)\pi-\sqrt3=\\\\=\boxed{\left(\frac{8\sqrt3-1}6\right)\pi-\sqrt3}$

Como a região A é uma das três regiões iguais que sobram, devemos, por fim, dividir o número obtido acima por 3:

$\frac13\cdot\left[\left(\frac{8\sqrt3-1}6\right)\pi-\sqrt3}\right]=\boxed{\left(\frac{8\sqrt3-1}{18}\right)\pi-\frac{\sqrt3}3}}$