Question

Calcule o valor dos seguintes limites:

Answer 1

algumas coisas que vc deve saber pra resolver ...

$(a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab + b^2\\\\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\\\\\Ax^2+Bx+C = A(x-r')(x-r'') \to \text{r' e r'' sao as raizes} \\\\ \bmatrix{ r'+r''= \frac{-B}{A}\;\text{soma das raizes}\\\\ r'*r'' = \frac{C}{A}\;\text{produto das raizes}\end$


a)

$\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{x^2-25} = \lim_{x \to 5} \frac{x-5}{x^2-5^2} = \lim_{x \to 5} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)} = \lim_{x \to 5} \frac{1}{x+5}= \frac{1}{5+5} \\\\ \lim_{x \to 5} \frac{x-5}{x^2-25} = \frac{1}{10}$


B) 

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2-x-2 }{x^2-1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2-x-2 }{x^2-1^2} =\lim_{x \to 1} \frac{x^2-x-2 }{(x-1)(x+1)}$

fatorando o numerador (x²-x-2)
quando vc substituiu x por 1 o resultado no numerador deu 0, signifca que 1 é uma das raízes da equação .. r'=1
encontrando a outra raíz   usando a relaçao de soma e produto
$r'*r''= \frac{C}{A}\\ \\1*r''= \frac{-2}{1} \\\\ r''= -2$

reescrevendo o numerador na forma fatorada
x²-x-2 = 1(x-1)(x- (-2)) = (x-1)(x+2)

reescevendo o limite

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2-x-2 }{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+2) }{(x-1)(x+1)}= \lim_{x \to 1} \frac{(x+2)}{(x+1)}= \frac{1+2}{1+1}= \frac{3}{2}$


c) mesmo processo da questão a) , vc chega em:
$\lim_{x \to 5} \frac{1}{x-5} = \frac{1}{0} \to \lim_{x \to 5} \frac{1}{x-5} = \infty$

observando os limites laterais ... quando x se aproxima de 5 pela esquerda
1/(4-5) = -1
1/(4,9-5) = -10
1/(4,99-5)= -100 ... o limite pela esquerda esta tendendo a numeros altos e negativos então

$\lim_{x \to 5^{-}} \frac{1}{x-5 } = -\infty$

limite lateral pela direita...quando x tende a 5 pela direita temos:
1/(6-5) = 1
1/(5,1-5) = 10
1/(5,01-5)= 100 ... tendendo a valores mais altos e positivos

$\lim_{x \to 5^{+}} \frac{1}{x-5 } = \infty$


como os limites laterais são diferentes, esse limite não existe

d) 

$\lim_{x \to0 } \frac{5x^3+8x^2}{3x^4-16x^2} \to \text{ coloca o }x^2 \text{ em evidencia}\\\\ \lim_{x \to0 } \frac{x^2(5x+8)}{x^2(3x^2-16)}=\lim_{x \to0 } \frac{(5x+8)}{(3x^2-16)}= \frac{5*0+8}{3*0^2-16}= \frac{8}{-16}=- \frac{1}{2}$


e)
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}= \infty$


mesmo processo da questão c) mas nessa o limite existe pq os limites laterais são iguais