Question

dados P(2,-4) e r: 2x-3y+6=0:
a) obtenha as coordenadas do ponto Q, interseção de r com a perpendicular a r por P
b) determine o simétrico de P em relação a reta r

Answer 1

Olá kauan e todos que posteriormente verão a resposta, tenho a confirmação das respostas aqui dadas pois o gabarito mostra o mesmo resultado, então vamos as resoluções:

P(2,-4) e r: 2x-3y+6=0

Vamos à parte, "interseção de r com a perpendicular a r por P". O que esta afirmação quer dizer?

Bom, o que a afirmação quis dizer, em outras palavras, é que considerando o ponto P, traçaríamos, perpendicularmente, uma reta. A interseção dessa reta com a reta r seria o ponto procurado(Q).

Perpendicular significa que teríamos a inversão do coeficiente angular da equação r vezes -1, mas para ter o coeficiente angular, primeiro temos que ter a equação reduzida, veja um modelo da equação reduzida explicado:

$y = mx + n$
Onde m = coeficiente angular, que define o ângulo tangencial da reta.
E n = valor no qual a reta cruza o eixo das ordenadas, quando x=0.
Ex: y = 3x + 2 , 3 seria o coeficiente angular, e o ponto (0,2) é o ponto no qual esta reta cruza o eixo das ordenadas(y).

Apliquemos o mesmo no exercício:
$2x - 3y + 6 = 0 2x + 6 = 3y (2/3)x + 6/3 = y$

Como já dito, o coeficiente angular de uma reta perpendicular a r é o coeficiente angular de r inverso vezes -1(Obs: o coeficiente angular é o número que acompanha x e é representado comumente por m):

m de r = 2/3
m da perpendicular de r = 2/3 inverso vezes(-1) = 3/2(-1) = -3/2

Logo o coeficiente angular da reta perpendicular a r por P é -3/2, o que significa que esse será o número que acompanhará x.

Nós precisamos agora encontrar n. Para conseguir a equação dessa tal reta perpendicular a r, nesse ponto do exercício, é importante lembrar que ele quer a reta perpendicular por P, ou seja, essa reta perpendicular a r deve, obrigatoriamente, cruzar o ponto P: (Obs: não podemos aplicar o n da equação reduzida da reta r, pois como agora temos a reta perpendicular, obrigatoriamente o ponto no qual a reta cruza o eixo das ordenadas mudou).

m da perpendicular de r = -3/2
P(2, -4), apliquemos os pontos para encontrar n.

y = (-3/2)x + n
-4 = (-3/2)2 + n
-4 = -6/2 + n
-4 = -3 + n
-4 + 3 = n
-1 = n

Logo a equação reduzida da reta perpendicular à r que passa pelo ponto P(2, -4) é:

y = (-3/2)x - 1

No (a) pede-se que seja encontrado o ponto Q, interseção de r com a perpendicular a r por P, nós agora já temos as duas equações.

Perpendicular... y = (-3/2)x - 1
Reta r... y = (2/3)x + 6/3

Vamos aplicar uma na outra para achar o ponto no qual as duas retas se cruzam:

(-3/2)x - 1 = (2/3)x + (6/3)
(-3/2)x - 2/2 = (2/3)x + (6/3)
3(-3x - 2) = 2(2x + 6)
-9x - 6 = 4x + 12
-13x = 18
x = -18/13

Aplicamos x em uma das equações para encontrar y:

-3/2(-18/13) - 1 = y
-54/26 - 1 = y
-54/26 - 26/26 = 28/26 = 14/13

Logo Q(-18/13, 14/13), também confirmado no gabarito do livro.

b)

No exercício b ele quer o simétrico de P em relação a reta r, ou seja, da distância de P até r dobrada.

Para esse exercício teremos que comparar a variação de P até Q em x e y, como o ponto é simétrico, na mesma reta, a quantidade que ele subirá/descerá será equivalente, ou seja, se subir de P até Q, 3 para x e 5 para y, significa que de Q até o ponto em questão será um aumento de 3 em x e 5 em y. Ou seja, completamente equivalente.

Temos os pontos:
Q(-18/13, 14/13)
P(2, 4) - transforme em fração com denominador 13, para isso, basta multiplicar os valores por 13 e adicionar o denominador 13.
P(26/13, -52/13)

Agora, vamos comparar os dois pontos, em x e y, de 26 até -18 temos -44, em x. Em y temos a diferença de -52 e 14, que é 66. Adicione o denominador 13 agora.

A variação simétrica do ponto P até Q é -44/13 unidades para x e 66/13 unidades para y. O ponto simétrico se refere ao ponto na mesma reta, com distância igual do ponto P a Q, só que como uma "continuação", seria então, a adição da variação simétrica de P e Q, em Q.

Ponto simétrico de P em relação a reta r(-18/13-44/13, 14/13+66/13)

Logo o ponto em questão é (-62/13, 80/13)

O gráfico a seguir ajuda a entender a relação de simetria triangular do exercício 1(b)

A resposta ficou longa por causa da explicação, mas pode ter certeza absoluta que está completamente correta.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

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