Question

19. A equação x2 + y2 + 12x -4y – 9 = 0 representa uma circunferência. Encontre as coordenadas do centro e o raio. Por favor, quem manja de matemática kkk.

Answer 1

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A ideia é reescrever a equação da circunferência na forma reduzida:

     $\mathsf{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2}$


de onde tiramos diretamente que

     •    o centro é o ponto de coordenadas  $\mathsf{(x_C,\,y_C);}$

     •    o raio é  r.


Para isso, usamos um artifício algébrico chamado completamento de quadrados.

Tome a equação da circunferência dada:

     $\mathsf{x^2+y^2+12x-4y-9=0}\\\\ \mathsf{x^2+12x+y^2-4y=9}$


Reescreva os termos em  1º  grau como o dobro do produto de dois termos.  Assim,  12x  fica como  2 · x · 6  e  4y  fica  2 · y · 2:

     $\mathsf{x^2+2\cdot x\cdot 6+y^2-2\cdot y\cdot 2=9}$


Para completar os quadrados no lado esquerdo, adicione  6² + 2²  aos dois lados da equação:

     $\mathsf{x^2+2\cdot x\cdot 6+y^2-2\cdot y\cdot 2+6^2+2^2=9+6^2+2^2}\\\\ \mathsf{(x^2+2\cdot x\cdot 6+6^2)+(y^2-2\cdot y\cdot 2+2^2)=9+36+4}$


As expressões entre parênteses no lado esquerdo são as expansões do quadrado de uma soma/diferença via produtos notáveis:

     $\mathsf{(x+6)^2+(y-2)^2=49}$

     $\mathsf{\big(x-(-6)\big)^2+(y-2)^2=7^2}$    <———    equação reduzida.


Comparando a equação acima com a forma reduzida da equação da circunferência, tiramos que

     •   $\mathsf{x_C=-6,~~y_C=2}$    ⇒    o centro é o ponto  (– 6, 2);

     •   o raio é  r = 7.


Bons estudos! :-)