Question

(Mackenzie-SP) Se a^1/2+a^-1/2=10/3, então a+a^-1 vale: (P.s.: a resposta é 82/9, só que não consigo chegar nela)

Answer 1

o segredo é aplicar o binômio de Newton, mais conhecido como produto notável. Note, elevando toda a equação ao quadrado temos:

$a^{1/2} + a^{-1/2}=10/3\ \textgreater \ \ \textgreater \ \ \textgreater \ a+2 a^{0}+ a^{-1}= 100/9$

$a+ a^{-1}= 100/9 -2 \ \textgreater \ \ \textgreater \ \ \textgreater \ a+ a^{-1}=82/9$

Answer 2

O valor de a + a⁻¹ é 82/9.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• Da propriedade das potências, quando o expoente é negativo, trocamos seu sinal e invertemos a fração;
• O expoente 1/2 indica raiz quadrada;

Com essas informações,  podemos escrever:

a^(1/2) + a^(-1/2) = 10/3

√a + 1/√a = 10/3

Colocando 1/√a em evidência:

(1/√a)(√a² + 1) = 10/3

Queremos o valor da expressão a + a⁻¹ ou a + 1/a, da mesma forma, temos:

(1/a)(a² + 1) = x

Note que (1/√a)² = 1/a e (√a² + 1)² = a² + 2a + 1, elevando a primeira equação ao quadrado, temos:

(1/a).(a² + 2a + 1) = 100/9

a + 2 + 1/a = 100/9

a + 1/a = 100/9 - 2

a + 1/a = 100/9 - 18/9

a + 1/a = 82/9

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