Question

Deduz a equação da continuidade (conservação de massa) de um determinado volume de fluido, limitado por uma superfície S que escola numa velocidade v em determinado tempo. O escoamento não é estacionário.

Answer 1

Sabemos que a massa de um fluido é dada por:
$\Delta m=\rho \Delta V$
onde rhô é a densidade do fluido (que no caso de líquidos normalmente é constante já que a maioria dos líquidos são incompressíveis)
Da mesma forma temos que em um determinado tempo uma quantidade m de massa passa por um volume de um tubo de corrente:
$\Delta m=\rho\vec{v}\cdot \hat{n}\Delta t\Delta S~\text{onde: }\Delta t\cdot \vec{v}=\Delta x\\\\\Delta m=\rho \Delta \vec{x}\Delta \vec{S}~\text{onde: }\hat{n}\cdot S=\vec{S}$
Sabemos que:
$\displaystyle\Delta m=\rho \vec{v}\cdot \hat{n}\Delta t\Delta S=\rho \Delta V\implies m=\iiint\limits_{~~~V}\rho dV$
(Massa é a integral tripla pelo volume do fluido)
E também deduzimos que:
$\displaystyle \frac{\Delta m}{\Delta t}=\rho\vec{v}\cdot \hat{n}\Delta S\implies \hat{n}\Delta S=\Delta \vec{S}$
(a variação de massa pelo tempo é a densidade multiplicada pela área)
ou seja:
$\displaystyle -\frac{dm}{dt}=\oint \rho \vec{v}\cdot d\vec{S}$
O decréscimo de massa por unidade de tempo é a integral de superfície fechada do produto escalar entre a velocidade do escoamento pela área do tubo de corrente.
Podemos passar essa equação para forma diferencial utilizando o teorema de green:
$\boxed{\oint\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint(\vec{\nabla}\cdot\vec{F})dV}}$
Então a fórmula que deduzimos ficará:
$\displaystyle -\frac{dm}{dt}=\iiint(\vec{\nabla}\cdot \rho\vec{v})dV$
substituindo m pela integral que definimos lá em cima obteremos:
$\displaystyle -\frac{d}{dt}\iiint\rho dV=\iiint(\vec{\nabla}\cdot \rho\vec{v})dV$
pelo teorema fundamental do cálculo o lado esquerdo da equação ficará:
$\displaystyle -\iiint\frac{\partial\rho}{\partial t} dV=\iiint(\vec{\nabla}\cdot \rho\vec{v})dV$
como as integrais possuem as diferenciais iguais podemos reescrever a equação na forma diferencial:
$\displaystyle -\frac{\partial\rho}{\partial t} =\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{v})$
logo:
$\boxed{\boxed{\rho\vec{\nabla}\cdot\vec{v}+\frac{\partial\rho}{\partial t} =0}}$
É a equação da continuidade.
Lembrando para densidade constante obteremos:
$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}=0$
ou seja:
$\displaystyle \rho\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0$
Se a divergencia desse campo vetorial é nula, dizemos então que o escoamento é estacionário para densidade constante.

Caso tenha problemas para visualizar sua resposta, acesse pelo navegador da internet. Bons estudos!